איך פותרים את זה ?

[nirasaf]

איך פותרים את זה ?

 

[ללא שם™]

../images/Emo26.gif

אני מה זה לא יודעת ~~~ הנה ניחוש ~~ שמישו יתקן לי את זה ~~

 

[טלמון סילבר]

לא אמורה להיות לכם רשימה בסיסית?

אין שם משהו עם אַרק-סינוס? משהו כמו:

4 arcsinus(x/2) + C​

?

 

[טלמון סילבר]

כלומר אינטגרל

משורש של 1 פחות x בריבוע שווה

arcsinus(x) + C​

ובמקרה הכללי יותר, שכלול גם הוא ברשימה, או ניתן לחישוב באמצעות הצבה פשוטה ביותר: אינטגרל משורש של a בריבוע פחות x בריבוע שווה

a^2 arcsin(x/a) + C​

 

[הנשר הנובח]

בתור בדיקה ../images/Emo107.gif

בתור בדיקה, אחרי ההצבה שתוארה כאן מקבלים כתשובה סופית את מה שרשום בתמונה שצירפתי.

 

[1ca1]

למה להסתבך עם אינטגרלים של ארק...

אפשר להפוך את השורש לחזקה של חצי ומשם להמשיך לפי אינטרל של פונקצית פולינום רגילה...

 

[1ca1]

ויש לי עוד שאלה בפונקציות ארק...

תגיד הנגזרת של ארקסינוס זה לא

1/sqrt(1-x^2)​

כאשר sqrt זה שורש ריבועי??? אז איך הפכתם את האינטגרל? כאילו הפונקציה הראשונה לא הייתה אחד חלקי משהו...

 

[טלמון סילבר]

אתה צודק. פשוט ניסיתי להיזכר...

וזכרתי "יותר מדי בערך". מצד שני, תנַסה בלי ארק-סינוס!

 

[טלמון סילבר]

טעיתי: ברשימה 1 חלקי. הפתרון:

באופן כללי. אסמן I במקום אינטגרל.

I = I (a^2 - x^2) ^ 0.5 dx x = a sin t dx = a cos t dt x [-a, a] t [-p/2, p/2] (a^2 - x^2) ^ 0.5 = a cos t I = I a cos t * a cos t dt = a^2 I (cos t)^2 dt = a^2 I ( (1 + cos 2t) / 2 ) dt I = a^2 t / 2 + (a^2 / 2) I cos 2t dt = a^2 t /2 + (a^2 / 2) I cos 2t d2t /2 I = a^2 t / 2 + (a^2 /4) sin 2t + C t = arcsin(x/a) sin t = x/a cos t = (1/a) * (a^2 - x^2) ^ 0.5 sin 2t = ( 2x/(x^2) ) * (a^2 - x^2) ^ 0.5 I = ((a^2)/2) arcsin(x/a) + (x/2) (a^2 - x^2) ^ 0.5 + C a = 2 I = 2 arcsin(x/a) + (x/2) (a^2 - x^2) ^ 0.5 + C​

הבדיקה שהביא נשר מאשרת את התוצאה הסופית.

 

[1ca1]

מזה בדיוק הdt הזה?

מה הקשר לסינוס,קוסינוס? לא הבנתי גם מה הקטע עם הdt הזה...

 

[טלמון סילבר]

השאלה היא, אם למדתָ אינטגרלים,

ואם אתה יודע מה זה ה-dx שהיה כתוב במקור? אם בקיצור, אז זה רומז על שֵם המִשתַנֶּה של הפונקציה, אותה אנחנו מחפשים. כאשר קשה למצוא את הפונקציה, עושים לפעמים הצבה, ועוברים למִשתנה אחר. בתרגיל הזה מתבקשת ההצבה שכתבתי, כי היא מעבירה אותנו לאינטגרל הרבה יותר פשוט. בהצבה לא מספיק רק להציב את הפונקציה שמתחת לאינטגרל, אלא גם את dx. אם ההצבה היא:

x = g(t)​

אז

dx = g´(t)dt​

 

[1ca1]

תודה רבה על התשובה הבנתי עכשיו

אבל איך בדיוק הגעת לעניין של הסינוס? כי משם אני מבין את הגזירה שלו לקוסינוס ומשם זה אינטגרל דיי פשוט...

 

[טלמון סילבר]

זה פשוט עניין של ניסיון. רואים הצבה

מתבקשת מאליה.