איך לבדוק אם מטריצות דומות זו לזו?

[איןכינויפנוי1]

איך לבדוק אם מטריצות דומות זו לזו?

אני מכיר את ההגדרה שאם A=p B p^-1 אז a ו b דומות אבל איך מיישמים בפועל אני מבין שצריך למצוא ווקטורים עצמיים ל b ואז לראות אם יצא a אבל אם aהיא לא מטריצת אלכסון מייד אני אומר שהיא לא דומה ל b? או שמותר לעשות עליה פעולות שורה(לפי חוקי דטרמיננטה כדי שהיא תיהיה באלכסון?) אשמח לדוגמא אם ניתן תודה

 

[היניב666הישראלי]

למטריצות דומות יש אותה צורת ז'ורדן.

דירוג מטריצות אינו שומר דמיון, אחרת, כל המטריצות ההפיכות היו באותה מחלקת השקילות.

 

[איןכינויפנוי1]

המשך שאלה על דימיון מטריצות

אוקי...
אבל הגדרת דימיון מטריות הוא
a=p^-1 b p
ואז A ו B דומות
עכשיו מי זאת ה P הזאת? זו דווקא מטריצה של מעבר מ F לE (כשר F זה בסיס הערכים העצמיים של B):?
&nbsp
או שעל מנת לבדוק אם 2 דומות לא בודקים לפי ההגדרה הזאת אלא לבדוק אם יש למטריצות אותם ע"ע ?
כי לדוגמא למטריצה 2 על 2 שכולם אחדות לכאורא ברור שהיא דומה לעצמה
אבל אם נחשב לפי ההגדרה זה לא יוצא נכון(כאשר P היא מטריצת המעבר מ F ל E)
תודה

 

[1ca1]

כן, P היא מטריצת מעבר

או במילים אחרות, עמודותיה הם הוקטורים העצמיים של A.
&nbsp
צריך לבדוק דימיון לפי ההגדרה (או כמו שיניב אמר, לפי צורת ז'ורדן), כי מה שכתבת "לכאורה ברור", זה לא נכון.
יש למשל מטריצות 2x2 ממשיות בלי ערכים עצמיים (תחשוב על מטריצת סיבוב).
&nbsp
או למשל מטריצה אוניפוטנטית.
zz A=[1,1;0,1] zz
היא לכאורה בעלת ע"ע 1 בדיוק כמו מטריצת היחידה I, אבל A לא דומה ל-I (נסה לחפש P כזו), למעשה, המרחב העצמי המתאים ל-1 במקרה של A הוא רק חד-מימדי (כלומר, הריבוי הגיאומטרי של 1 הוא 1), בניגוד לכך שהמרחב העצמי במקרה של I הוא כל R^2 כלומר ריבוי גיאומטרי 2.
&nbsp
אפשר לראות את זה דרך החשיבה על מה A עושה ל-R^2, היא עושה מה שנקרא shearing, כלומר משאירה את ציר ה-y במקום אבל "מושכת" את ציר ה-x, ולכן ציר ה-x הוא לא וקטור עצמי מע"ע 1, אבל ציר ה-y כן.