אתה משתמש בדפדפן מיושן. יתכן והאתר הנוכחי יוצג באופן שגוי, כמו כן אתרים אחרים ברשת.
אנא שדרג את הדפדפן או השתמש בדפדפן חילופי.
אנא שדרג את הדפדפן או השתמש בדפדפן חילופי.
איזומורפיה
- פותח הנושא אפלטוניסט
- פורסם בתאריך
צריך להיזהר כאן
במתמטיקה יש משהו שמכונה "גישה קטגורית".
קודם כל אתה קובע על איזה "מבנה" אתה עובד, ואז אפשר לשאול האם שני מבנים הם אותו הדבר.
דוגמא אחת ל"מבנה" היא קבוצות.
יש לך קבוצות של איברים ואתה רוצה לשאול האם הם אותו הדבר.
אז השיוויון כאן הוא ברמה של "כמות" (המושג המתמטי המלא נקרא עוצמה).
ואיך בודקים אם הם באותה כמות? בדיוק כמו שבודקים אם סל של תפוחים מכיל אותו מספר של פירות כמו בסל של תפוזים.
שמים את שתי הקבוצות אחד ליד השנייה, ומנסים להתאים לכל תפוח תפוז, ולשים בצד, אם תמשיך לעשות את ההתאמת זוגות האלו ותסיים כמו שצריך, אז מבחינתנו הן שקולות, אחרת לא.
עכשיו דוגמא אחרת לקטגוריה היא קטגוריה של חבורות.
חבורה היא קבוצה, אבל יש לה גם פעולה בין איברי החבורה.
ולכן כשאומרים שחבורות הן שקולות, אז קודם כל הן צריכות להיות שקולות כמו חבורות, כלומר אם אותו מספר איברים.
אבל צריך לזכור, שבין האיברים יש אינטרקציות (שנובעות מהפעולה של איברי החבורה), ולכן צריך לבדוק שההתאמה של הזוגות שעשינו "משמרת את הפעולה", כלומר אם ניקח שני תפוחים, נעשה ביניהם את הפעולה, נקבל תפוח חדש, ואז נשתמש בהתאמה לקבל תפוז, ואם נלך בכיוון ההפוך, ניקח שני תפוחים, נעביר כל אחד מהם לתפוז ואז נעשה את הפעולה בין 2 התפוזים ונקבל תפוז, אז התוצאה בשתי הדרכים תהיה אותו דבר, אחרת יכול להיות שהקבוצות בעלות אותה כמות איברים, אבל הם לא בעלי אותו מבנה (כי אנחנו בקטגוריה של חבורות, מבנה זה קבוצה עם פעולה, אז הפעולה בחבורה הראשונה והפעולה בחבורה השנייה לא תואמות).
מכאן אפשר לסבך את זה עוד יותר.
פשוט לוקחים מבנים מסובכים יותר ויותר ורואים אם אפשר למצוא התאמות.
בגדול, אם הדברים לא שווים מבחינה מספרית, אין בכלל טעם לנסות למצוא ביניהם התאמה כזו, למרות שגם כאן יש יוצאים מין הכלל (מערכות דינמיות מידתיות למשל אבל הדוגמא הזאת קצת מסובכת להסבר פשוט).
במתמטיקה יש משהו שמכונה "גישה קטגורית".
קודם כל אתה קובע על איזה "מבנה" אתה עובד, ואז אפשר לשאול האם שני מבנים הם אותו הדבר.
דוגמא אחת ל"מבנה" היא קבוצות.
יש לך קבוצות של איברים ואתה רוצה לשאול האם הם אותו הדבר.
אז השיוויון כאן הוא ברמה של "כמות" (המושג המתמטי המלא נקרא עוצמה).
ואיך בודקים אם הם באותה כמות? בדיוק כמו שבודקים אם סל של תפוחים מכיל אותו מספר של פירות כמו בסל של תפוזים.
שמים את שתי הקבוצות אחד ליד השנייה, ומנסים להתאים לכל תפוח תפוז, ולשים בצד, אם תמשיך לעשות את ההתאמת זוגות האלו ותסיים כמו שצריך, אז מבחינתנו הן שקולות, אחרת לא.
עכשיו דוגמא אחרת לקטגוריה היא קטגוריה של חבורות.
חבורה היא קבוצה, אבל יש לה גם פעולה בין איברי החבורה.
ולכן כשאומרים שחבורות הן שקולות, אז קודם כל הן צריכות להיות שקולות כמו חבורות, כלומר אם אותו מספר איברים.
אבל צריך לזכור, שבין האיברים יש אינטרקציות (שנובעות מהפעולה של איברי החבורה), ולכן צריך לבדוק שההתאמה של הזוגות שעשינו "משמרת את הפעולה", כלומר אם ניקח שני תפוחים, נעשה ביניהם את הפעולה, נקבל תפוח חדש, ואז נשתמש בהתאמה לקבל תפוז, ואם נלך בכיוון ההפוך, ניקח שני תפוחים, נעביר כל אחד מהם לתפוז ואז נעשה את הפעולה בין 2 התפוזים ונקבל תפוז, אז התוצאה בשתי הדרכים תהיה אותו דבר, אחרת יכול להיות שהקבוצות בעלות אותה כמות איברים, אבל הם לא בעלי אותו מבנה (כי אנחנו בקטגוריה של חבורות, מבנה זה קבוצה עם פעולה, אז הפעולה בחבורה הראשונה והפעולה בחבורה השנייה לא תואמות).
מכאן אפשר לסבך את זה עוד יותר.
פשוט לוקחים מבנים מסובכים יותר ויותר ורואים אם אפשר למצוא התאמות.
בגדול, אם הדברים לא שווים מבחינה מספרית, אין בכלל טעם לנסות למצוא ביניהם התאמה כזו, למרות שגם כאן יש יוצאים מין הכלל (מערכות דינמיות מידתיות למשל אבל הדוגמא הזאת קצת מסובכת להסבר פשוט).
יפה, אז אם אני מראה
1 That (n\1) which is in Q , corresponds to n that is in Z
2 And that (n\1) + (m\1) = ((n+m)\1) which is in Q , corresponds to (n+m) in z
3 And also that (n\1)*(m\1) =((nm)/1) which is in Q , corresponds to nm in z
then, can i infer 1and2and3 imply n\1 = n ?
אני מבין מה אתה אומר .. אתה אומר בעצם שבשביל להוכיח איזומורפיה בין חבורות(שבין היתר מורכבות מקבוצות ,ושקבוצות שוות מבחינה מספרית אם יש להן את אותו מספר איברים) אז צריך להראות בין היתר, שמספר האיברים הוא אותו דבר ועושים זאת על ידי התאמה סבבה . אבל זה עדיין לא מוכיח את הזהות בין זוג סדור שהאיבר הימני בו הוא 1 לבין המספר השלם שהוא למעשה האיבר השמאלי בזוג
1 That (n\1) which is in Q , corresponds to n that is in Z
2 And that (n\1) + (m\1) = ((n+m)\1) which is in Q , corresponds to (n+m) in z
3 And also that (n\1)*(m\1) =((nm)/1) which is in Q , corresponds to nm in z
then, can i infer 1and2and3 imply n\1 = n ?
אני מבין מה אתה אומר .. אתה אומר בעצם שבשביל להוכיח איזומורפיה בין חבורות(שבין היתר מורכבות מקבוצות ,ושקבוצות שוות מבחינה מספרית אם יש להן את אותו מספר איברים) אז צריך להראות בין היתר, שמספר האיברים הוא אותו דבר ועושים זאת על ידי התאמה סבבה . אבל זה עדיין לא מוכיח את הזהות בין זוג סדור שהאיבר הימני בו הוא 1 לבין המספר השלם שהוא למעשה האיבר השמאלי בזוג
אם לקחתי שורה של תפוחים ושורה של תפוזים,
והעמדתי אותם זוגות זוגות של תפוח ותפוז, ויצא שבדיוק כל תפוח מתאים לתפוז אחד וכל תפוז מתאים לתפוח אחד (ולכן יש לי אותו מספר של תפוחים ושל תפוזים), האם מכאן נובע שכל תפוח שוה לתפוז שאיתו בזוג?
לא.
אם יש לך איזומורפיזם בין שני מבנים, שמתאים את a מהמבנה האחד ל־b מהמבנה השני, זה לא אומר שום דבר על הקשר בין a ל־b (אחד מהם יכול להיות תפוח והשני יכול בכלל להיות אפרסק!). זה אומר רק שה"עמדה" של כל אחד מהם במבנה שלו דומה לזו של השני במבנה שלו.
והעמדתי אותם זוגות זוגות של תפוח ותפוז, ויצא שבדיוק כל תפוח מתאים לתפוז אחד וכל תפוז מתאים לתפוח אחד (ולכן יש לי אותו מספר של תפוחים ושל תפוזים), האם מכאן נובע שכל תפוח שוה לתפוז שאיתו בזוג?
לא.
אם יש לך איזומורפיזם בין שני מבנים, שמתאים את a מהמבנה האחד ל־b מהמבנה השני, זה לא אומר שום דבר על הקשר בין a ל־b (אחד מהם יכול להיות תפוח והשני יכול בכלל להיות אפרסק!). זה אומר רק שה"עמדה" של כל אחד מהם במבנה שלו דומה לזו של השני במבנה שלו.
בוודאי שלא
אבל רציתי חיזוק ממישהו שמבין יותר ממני .. פשוט בהרצאה אחת שראיתי המרצה אומר את זה במפורש .
הוא אומר ש השלמים מוכלים ברציונאליים ושיש איזומורפיה בין שתי הקבוצות הנ"ל שדיברנו עליהן .
ומזה הוא מסיק ש n/1 =n
והיה לי קשה לקבל את זה .
כיוון שאני יודע שלפי הגדרת המספר הרציונאלי, a/b הוא המספר שאם נכפול אותו ב b , נקבל את a ומתוך זה ישר אפשר להוכיח את הזהות המצחיקה הזאת .
אבל כאילו כל ההרצאה (שדיברה על בניית Q ) פשוט התעלמה מהרעיון הזה . בנוסף כמו שאמרתי המרצה מצביע על נכונותה של הזהות דרך איזומורפיזם .
תודה לך !
אבל רציתי חיזוק ממישהו שמבין יותר ממני .. פשוט בהרצאה אחת שראיתי המרצה אומר את זה במפורש .
הוא אומר ש השלמים מוכלים ברציונאליים ושיש איזומורפיה בין שתי הקבוצות הנ"ל שדיברנו עליהן .
ומזה הוא מסיק ש n/1 =n
והיה לי קשה לקבל את זה .
כיוון שאני יודע שלפי הגדרת המספר הרציונאלי, a/b הוא המספר שאם נכפול אותו ב b , נקבל את a ומתוך זה ישר אפשר להוכיח את הזהות המצחיקה הזאת .
אבל כאילו כל ההרצאה (שדיברה על בניית Q ) פשוט התעלמה מהרעיון הזה . בנוסף כמו שאמרתי המרצה מצביע על נכונותה של הזהות דרך איזומורפיזם .
תודה לך !
המשך:
אם נקח את הבניה של הרציונלים מהודעתי שלעיל, אנחנו יכולים להסתכל בה על מחלקות השקילות של זוגות מהצורה (n, 1), ולהתאים כל מחלקה כזו לשלם n. ההתאמה הזו היא חד־חד־ערכית ועל, ומשמרת חיבור, כפל וסדר, כלומר תת־הקבוצה הזו של הרציונלים איזומורפית לשלמים. באיזומורפיזם הזה השלם n מתאים לרציונלי (n, 1). זה לא אומר שבתור אוביקטים הם שוים, אבל זה כן אומר שאנחנו יכולים לזהות אותם לצרכינו, וכך לחשוב על השלמים כמשוכנים בתוך הרציונלים. זה עוזר לנו לקצר ולכתוב n במקום (n, 1) (או n/1). זה הכל. ואז כשאנחנו כותבים משהו כמו a/b · b = a זה בעצם קיצור ל־a/b · b/1 = a/1.
אם נקח את הבניה של הרציונלים מהודעתי שלעיל, אנחנו יכולים להסתכל בה על מחלקות השקילות של זוגות מהצורה (n, 1), ולהתאים כל מחלקה כזו לשלם n. ההתאמה הזו היא חד־חד־ערכית ועל, ומשמרת חיבור, כפל וסדר, כלומר תת־הקבוצה הזו של הרציונלים איזומורפית לשלמים. באיזומורפיזם הזה השלם n מתאים לרציונלי (n, 1). זה לא אומר שבתור אוביקטים הם שוים, אבל זה כן אומר שאנחנו יכולים לזהות אותם לצרכינו, וכך לחשוב על השלמים כמשוכנים בתוך הרציונלים. זה עוזר לנו לקצר ולכתוב n במקום (n, 1) (או n/1). זה הכל. ואז כשאנחנו כותבים משהו כמו a/b · b = a זה בעצם קיצור ל־a/b · b/1 = a/1.
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.