אז הנה, שאלה:

[זהר פלד]

אז הנה, שאלה:

היה לי ויכוח פעם עם מישהו על השאלה "איפה יש יותר מספרים - בין 0 לאינסוף, או בין 0 ל 1" הוא טען שיש הוכחה מתמטית מסובכת שבין אפס לאחד יש יותר מספרים. אני טענתי, שמתימתיקה לא מסוגלת להתמודד עם המושג אינסוף (אגב, זה ציטוט ישיר של סיבן הוקינג, שהוא אחד מהאנשים המבריקים ביותר בעולם.) מי צדק?

 

[זהר פלד]

ואם כבר תיקונים... מתימטיקה, סטיבן.

 

[אדם*]

התשובה למעלה זהר ידידי ../images/Emo13.gif

 

[עידו ילין]

אז ככה

ממה שאני זוכר מהקורס ב"מתימטיקה בדידה": 1. המתימטיקה מתמודדת מצוין עם מושג האינסוף. היא מגדירה אותו כרצונה, ומההגדרה נובע כל השאר. יש לציין שהאינסוף אינו מספר, אלא מושג. 2. כשמדובר על קבוצות אינסופיות, כמו למשל קבוצת המספרים הממשיים בין 0 ל-1, לא מדברים על "מספר" האיברים בקבוצה, אלא על ה"עוצמה" של הקבוצה. 3. ואז, קבוצת המספרים הממשיים בין 0 ל-1 וקבוצת כלל המספרים הממשיים הן בעלות אותה עוצמה. לכן, למשל, גם קבוצת החיוביים (או בניסוח שלך, המספרים בין 0 לאינסוף, למרות שכפי שהסברתי לא כך מנסחים זאת כי אינסוף אינו מספר), היא בעלת אותה עוצמה. מקווה שעזרתי.

 

[ילדת ירח]

+ תוספת קטנה...

עמ"י עש"ו אכן לפי מה שזכור לי מקורס אלגברה ליניארית יש סוגי אינסוף סוג האינסוף שבין 0 ל 1 שווה לסוג האינסוף שבין 0,1,2,3... <שווה ל- 0א> ואפשר אפילו להוכיח את זה -אם לכל איבר בקבוצה הראשונה תמצא איבר בקבוצה השניה הרי יש בהם אותו מספר איברים אפשר לראות שאכן נתן לבצע התאמה כזו 0-0 0.1-1 0.2-2 . . 0.16364466666-0.16364466666 :

) <אני לא מאמינה שזכרתי משהו מהקורס ההוא מקווה שהסברתי ברור>

 

[עידית_]

הממממ... זכרונך בוגד בך כנראה ../images/Emo8.gif

כי האינסוף בין 0 ל-1 דווקא לא שווה לאינסוף של הטבעיים 0,1,2,3... האינסוף של המספרים הטבעיים (וגם של השלמים, הרציונליים ועוד) נקרא אכן "אלף אפס". האינסוף בין 0 ל-1, שהוא שווה לאינסוף שבין 0 לאינסוף, נקרא "אלף".

 

[עידית_]

והנה ההוכחה הכי פשוטה שהצלחתי

לחשוב עליה כרגע: קודם כל, ההגדרה אומרת ששתי קבוצות הן בעלות אותו גודל ("עוצמה") אם יש ביניהן פונקציה חח"ע ועל. עכשיו ההוכחה: שלב א ------ קבוצת המספרים מ-0 עד אינסוף שווה בגודלה לקבוצת המספרים מ-1 עד אינסוף. וזאת ניתן לראות ע"י הפונקציה y = x+1 שמעבירה כל מספר בקבוצה הראשונה למספר בקבוצה לשנייה (והיא חח"ע ועל). שלב ב ------ קבוצת המספרים מ-1 עד אינסוף שווה בגודלה לקבוצת המספרים מ-0 עד 1 וזאת ע"י הפונקציה y = 1/x שמעבירה כל מספר בקבוצה הראשונה לשנייה וההיפך (חוץ מ-0, אך נקודה אחת לא משנה גודל של קבוצה אינסופית). ומשלבים א+ב ביחד תקבל מה שרצית.