אגב זנון ואינסוף
שלושת הפאראדוקסים של זנון בקשר לאינסוף ודומיהם, אינם פאראדוקסים כלל ואינם נוגדים את ההיגיון או את המדע, וזאת אראה בהמשך. (סילחו לי אם "הפאראדוקסים" לא יהיו בניסוחם המקורי או סדרם המקורי, מכיוון שאין לי את המקור מולי כרגע.) תחילה כמה הבהרות: אינסוף הוא מושג, לא מספר. אינסוף הוא משהו שניתן רק לשאוף אליו. אחד לחלק לאינסוף לא שווה ל-0, אלא שואף ל-0. במתימטיקה דיפרנציאלית (קלקולוס), מספר ששואף למספר אחר אינו שווה לו. עם זאת, ניתן להניח שההפרש בין המספר לבין המספר ששואף לו הוא זניח. לכן מספר ששואף ל-0 ניתן לרשום כ-0 כי ההפרש זניח. ועוד מילה בקשר לזניחות: בעזרת הפיזיקה של ניוטון אנו מסיעים מכוניות, מטיסים מטוסים, משגרים טילים ואפילו חלליות. ואז בא איינשטיין ואומר - זה לא מדוייק. אז למה בכל זאת המטוסים טסים לפי ניוטון, והחלליות משתגרות וחוזרות בדיוק לפי ניוטון? כי ההפרש בין התורות במהירויות נמוכות הוא זניח. או במילים אחרות התיאוריה של ניוטון שואפת לתיאוריה של איינשטיין במהירויות נמוכות. ההפרש ביניהן במקרה זה, הוא זניח. וחזרה לזנון: 1) אכילס והצב - אכילס לעולם לא יעקוף את הצב - פה אני חייב להסכים עם זנון - אם תעצור את הזמן, אכילס לעולם לא יוכל לעקוף את הצב. את הפרט של עצירת הזמן הוא לא כלל במסקנה הסופית. ואני אסביר: כל פעם שאכילס מגיע אל הצב, הצב יעבור מרחק מסוים. זה נכון אבל יש לשים לב, שתוך כדי כך שהוא "קופץ" בין מיקומם של אכילס והצב, הוא "קופץ" בין נקודות זמן. מכיוון שכל פעם הוא הקפיצה במיקום היא קטנה יותר, כך הקפיצה בזמן קטנה יותר (בהנחה והמהירות קבועה). ניתן, דרך אגב, לראות שהסידרה האינסופית הזו שואפת לנק´ בה המרחק בין אכילס לצב הוא אפס (אך לא שווה). 2) פאראדוקס נוסף מאותו רעיון הוא - אם אלך חצי מהדרך, ואלך חצי מהדרך שנותרה, ואלך חצי מהדרך שנותרה וכך אמשיך, לעולם לא אגיע לנק´ הסיום. מסקנה: לעולם לא אגיע לנק´ הסיום. גם פה אני חייב להסכים, אם תאט את המהירות שלך פי 2 כל הזמן, לעולם לא תגיע לסוף. הפתרון דומה לשאלה הקודמת. ועוד דרך להסתכל על זה - אם כל הזמן תקבע לך מטרות שקרובות אליך יותר מהמטרה, לא תוכל להגיע אליה. אין פה פאראדוקס. 3) פאראדוקס החץ - זו שאלה קצת יותר מורכבת. נבחין בין 2 מקרים: א) התזוזה ביקום היא בדיוק אינסופי - כלומר החץ לעולם לא עוצר.הוא תמיד בתנועה. אם תנסה לחלק את הזמן אפילו לשבריר הקטן ביותר, עדיין תהיה לחץ תנועה (העתקה) בין נק´ הזמן. אריסטו ענה ל"בעיה" זו עם הרעיון הבא: זמן אינו מורכב מתמונות. זמן הוא רצף, וניתן לחלקו רק לרצפים קטנים יותר. בהוכחתו הוא נתן דוגמאות כגון - קו במרחב (בגיאומטריה אוקלידית) ניתן לחלק רק לקוים קטנים יותר, לא לנקודות. כמובן שאלו רק הצעות לפתרון ולבטח ישנם פתרונות רבים וטובים אחרים. ארז שנאן.
שלושת הפאראדוקסים של זנון בקשר לאינסוף ודומיהם, אינם פאראדוקסים כלל ואינם נוגדים את ההיגיון או את המדע, וזאת אראה בהמשך. (סילחו לי אם "הפאראדוקסים" לא יהיו בניסוחם המקורי או סדרם המקורי, מכיוון שאין לי את המקור מולי כרגע.) תחילה כמה הבהרות: אינסוף הוא מושג, לא מספר. אינסוף הוא משהו שניתן רק לשאוף אליו. אחד לחלק לאינסוף לא שווה ל-0, אלא שואף ל-0. במתימטיקה דיפרנציאלית (קלקולוס), מספר ששואף למספר אחר אינו שווה לו. עם זאת, ניתן להניח שההפרש בין המספר לבין המספר ששואף לו הוא זניח. לכן מספר ששואף ל-0 ניתן לרשום כ-0 כי ההפרש זניח. ועוד מילה בקשר לזניחות: בעזרת הפיזיקה של ניוטון אנו מסיעים מכוניות, מטיסים מטוסים, משגרים טילים ואפילו חלליות. ואז בא איינשטיין ואומר - זה לא מדוייק. אז למה בכל זאת המטוסים טסים לפי ניוטון, והחלליות משתגרות וחוזרות בדיוק לפי ניוטון? כי ההפרש בין התורות במהירויות נמוכות הוא זניח. או במילים אחרות התיאוריה של ניוטון שואפת לתיאוריה של איינשטיין במהירויות נמוכות. ההפרש ביניהן במקרה זה, הוא זניח. וחזרה לזנון: 1) אכילס והצב - אכילס לעולם לא יעקוף את הצב - פה אני חייב להסכים עם זנון - אם תעצור את הזמן, אכילס לעולם לא יוכל לעקוף את הצב. את הפרט של עצירת הזמן הוא לא כלל במסקנה הסופית. ואני אסביר: כל פעם שאכילס מגיע אל הצב, הצב יעבור מרחק מסוים. זה נכון אבל יש לשים לב, שתוך כדי כך שהוא "קופץ" בין מיקומם של אכילס והצב, הוא "קופץ" בין נקודות זמן. מכיוון שכל פעם הוא הקפיצה במיקום היא קטנה יותר, כך הקפיצה בזמן קטנה יותר (בהנחה והמהירות קבועה). ניתן, דרך אגב, לראות שהסידרה האינסופית הזו שואפת לנק´ בה המרחק בין אכילס לצב הוא אפס (אך לא שווה). 2) פאראדוקס נוסף מאותו רעיון הוא - אם אלך חצי מהדרך, ואלך חצי מהדרך שנותרה, ואלך חצי מהדרך שנותרה וכך אמשיך, לעולם לא אגיע לנק´ הסיום. מסקנה: לעולם לא אגיע לנק´ הסיום. גם פה אני חייב להסכים, אם תאט את המהירות שלך פי 2 כל הזמן, לעולם לא תגיע לסוף. הפתרון דומה לשאלה הקודמת. ועוד דרך להסתכל על זה - אם כל הזמן תקבע לך מטרות שקרובות אליך יותר מהמטרה, לא תוכל להגיע אליה. אין פה פאראדוקס. 3) פאראדוקס החץ - זו שאלה קצת יותר מורכבת. נבחין בין 2 מקרים: א) התזוזה ביקום היא בדיוק אינסופי - כלומר החץ לעולם לא עוצר.הוא תמיד בתנועה. אם תנסה לחלק את הזמן אפילו לשבריר הקטן ביותר, עדיין תהיה לחץ תנועה (העתקה) בין נק´ הזמן. אריסטו ענה ל"בעיה" זו עם הרעיון הבא: זמן אינו מורכב מתמונות. זמן הוא רצף, וניתן לחלקו רק לרצפים קטנים יותר. בהוכחתו הוא נתן דוגמאות כגון - קו במרחב (בגיאומטריה אוקלידית) ניתן לחלק רק לקוים קטנים יותר, לא לנקודות. כמובן שאלו רק הצעות לפתרון ולבטח ישנם פתרונות רבים וטובים אחרים. ארז שנאן.