אי שיוויון הולדר

אי שיוויון הולדר

יש כאן שאלה שאני מנסה לפתור אבל אני לא ממש שם לב איך לעבוד כאן עם אי שיוויון הולדר.
השאלה היא זו:
יש מרחב מידה (X,S,miu) ו-miu(X)<infinity, ויהיו zz 1<=r<p<infinity zz.
צריך להראות שלכל (f in L^p(miu מתקיים
zz ||f||_r <= (miu(X))^((1/r)-(1/p)) * ||f||_p zz.
הולדר אומר לכל p,q גדולים שווים 1 שעבורם
zz 1/p + 1/q =1 zz ולכל זוג פונקציות מדידות מתקיים:
zz ||fg||_1 <= ||f||_p ||g||_q zz.
לא כל כך ברור לי אצלי בשאלה מי הן f,g ומה זה p,q.
זו שאלה ראשונה שאני מנסה לפתור בנושא הזה..אם אפשר איזשהי הדרכה או עזרה עם זה.

רעיון

אני לא בטוח איך להוכיח את זה, אבל הרעיון שעלה לי הרי אתה רוצה שצד שמאל יהיה: ||f||_r, אז כדי להשתמש באי שוויון הולדר תצטרך למצוא פונקציות h,g כך ש-
||hg||_1=||f||^r_r
&nbsp
דרך אחת היא להגדיר h=f^r ו- g=1.
&nbsp
נראה לי שזה יעבוד, נשאר רק לקבוע את q.
&nbsp
&nbsp
&nbsp

כאמור זה רק רעיון, לא עבדתי עליו עד הסוף.