פונקצית קנטור

פונקצית קנטור

לא הכי ברור לי משהו בהגדרה שלה.

אנחנו יודעים ש-x בקבוצת קנטור אפשר להציג כך:
zz x = 0.a1a2a3.... , s.t a_i in {0,2} zz
וממה שהבנתי בכיתה x-ים כאלה נשלחים ל:
zz sum_(n=1 to infinity) (a_n/2)*(1/2)^n zz
כלומר מחלקים את הסקלרים an ב-2, וגם מעבירים לייצוג בינרי (כלומר במקום שליש בחזקת n שהיה בייצוג הטרינרי, עכשיו יהיה חצי בחזקת n).

1.
באחת הדוגמאות שעשו, אני רואה שעבור 1/9 ששייך לקבוצת קנטור, כתוב ש: zz f(1/9) = f(0.0022..._3)=0.0011_2=1/4 zz
במעבר הראשון, הסיבה שכתבו את 1/9 כפי שכתבו (עם שניי אפסים ו-2-ים)
ולא כך: zz 0.0100..._3 zz זה כי בקבוצת קנטור המספרים בייצוג טרינרי הם ללא הספרה 1? ל1/9 שניי ייצוגים בבסיס 3.
האם חשוב בנושא הזה להבדיל בין מתי למספר יש שניי ייצוגים ומתי אין לו? ואם כן, איך רואים מתי יש לו שניי יצוגים ומתי אין לו?

2.
עבור x-ים שהם לא בקבוצת קנטור, כאן לא הכי ברור לי מה הולך.
בכיתה הוסבר שעבור x שהוא לא בקבוצת קנטור, משמעות הדבר היא שהוא שייך לאיזשהו קטע שהורדנו במהלך הבנייה של קבוצת קנטור.
ואז אמרו שנבחר קטע כזה (לא יודע אם זה באמת "נבחר"..אין כאן כמה אפשרויות לדעתי..נראה לי שיש אפשרות אחת לקטע כזה כי כל איבר שהוא לא בקבוצת קנטור, נופה ממנה פעם אחת בלבד - בשלב שבו הורידו את הקטע שאליו הוא היה שייך) ונשלח את x לאותו מקום שאליו הולכות קצות הקטע שהורד.

נאמר גם שבכל קטע שמורידים הקצוות נשלחות לאותו מקום...
לא ברור לי למה.

3.
האמת הייתי צריך להתחיל עם זה אולי..קצת מביך כי מדובר בדברים של כיתה א'..
למה רבע בבסיס 3 זה 0.0202020202...?

וכרגיל תודה מראש למי שעונה

תשובות

נתחיל מ-3:
q 0.02020202.... = sum_(n=1 to inf) 2/9^n = 2*sum(n=1 to inf) 1/9^n = 2*1/8 = 1/4

1.
כפי שבייצוג עשרוני q 3.99999... = 4 כך בייצוג טרינאי אם יש רצף אינסופי של 2 זה כמו לעגל כלפי מעלה כפי שאתה כתבת. זה המקרה היחיד שבו שני רצפים של ספרות נותנים את אותו הערך. מספר הוא בקבוצת קנטור אם אחד מהיצוגים שלו נתונים בעזרת 0 או 2 בלבד.

2.
אתה צודק - כל מספר שאינו בקבוצה שייך לקטע מסויים שהוסר בשלב מסויים. נניח 1/2 שייך לקטע (2/3, 1/3) שהוסר באיטרציה הראשונה ואילו 1/4 שיך לקטע (2/9, 1/9) שהוסר בשניה. נשים לב ש
q f(1/9) = 1/4 כפי שאתה הסברת
f(2/9) = f(0.02_3)= 0.01_2 = 1/4
ולכן קצות הקטע אכן מקבלים את אותו הערך. כך ייקרה לכל הקטעים. לכן כל נקודה בין 1/9 ל2/9 תקבל את הערך 1/4.

שני תרגילים

1. הוכיחו: כל מספר בקטע [0,2] הוא סכום של שני מספרים בקבוצת קנטור.
2. בוחרים שני מספרים אקראיים בקבוצת קנטור, מה תוחלת הערך המוחלט של ההפרש ביניהם?

לגבי 1

נראה לי שאפשר כך:
נסמן ב-C_k את האיטרציה ה-k-ית בבניה של קבוצת קנטור. כלומר C = ∩C_k
אפשר להוכיח ש- [C_k + C_k = [0,2 (האמת, לא נכנסתי לעומק ההוכחה, אבל נראה לי לא מסובך). וכן (C + C = ∩(C_k+C_k.

השלמת ההוכחה

טענה: [C_k + C_k = [0,2
מוכיחים באינדוקציה לפי ההגדרה הרקורסיבית
(C_k+1 = C_k/3 U (2/3+C_k/3
אם נסמן
A = C_k/3
B = 2/3 + A
אז
(C_k+C_k = (A+A) U (A+B) U (B+B
ולפי הנחת האינדוקציה
[A+A = [0,2/3
[A+B = [2/3,4/3
[B+B = [4/3,2

אני חשבתי על הוכחה כזו

קל לראות שכל מספר בין 0 ל-1 הוא סכום של שני מספרים שבבסיס 3 מופיעות בהם רק הספרות 0 ו-1. בהינתן מספר x בין 0 ל-2, נביע את x/2 בצורה הזו. נכפול את שני המחוברים ב-2 וסיימנו.

ממש פשוט!

פתרון לתרגיל השני

נסמן את תוחלת הערך המוחלט בהפרש במספר איקס כאשר אני מניח שכל ספרה ביצוג המספרים בסיס 3 מקבלת 2 בהסתברות חצי ו0 בהסתברות חצי.
&nbsp
תוחלת הערך המוחלט של ההפרש בהנתן שאחד המספרים הוא לפחות שני שליש והשני לכל היותר שליש היא בדיוק שני שליש.
&nbsp
תוחלת הערך המוחלט של ההפרש בהנתן שהספרה הראשונה זהה הוא בדיוק שליש איקס כי זה תוחלת ההפרש של מספרים בקבוצת קנטור שקטנים או שווים לשליש,ואם נכפיל אותם ב3 נקבל מספרים שקטנים או שווים ל1.
ההסתברות של התנאי היא חצי.
מכאן X הוא חצי כפול שני שליש פלוס חצי כפול איקס חלקי 3.
פתרון המשוואה נותן X=0.4