שאלה כנראה מתורת מספרים: הוכח או הפרך...

S

shahars10

Member

• 12/10/16

• #1

שאלה כנראה מתורת מספרים: הוכח או הפרך...

אם נתונים p ו- q טבעיים המקיימים:
1. gcd(p,q) = 1, כלומר אין להם גורם משותף.
2. הזוגיות של p ו- q הפוכה, כלומר אחד זוגי ואחד לא.
3. קיים מס' טבעי u כך ש: p^2+3q^2 = u^3.
אזי קיימים a ו- b שלמים (שונים מאפס, אבל יכולים להיות שליליים) המקיימים:
1. p = a(a^2-9b^2)
2. q = 3b(a^2-b^2)
3. a ו- b בעלי זוגיות הפוכה.
4. gcd(a,b) = 1.
תודה

 

A

AnarchistPhilosopher

Well-known member

• 12/10/16

• #2

אני לא יודע האם זה נכון או לא.

אבל דרך להסתכל על זה זה לרשום את הנתון הראשון בתור cp+dq=1 עבור c,d שלמים (מן הסתם לא ייתכן שאחד מהם הוא אפס).
את הנתון השני בלי הגבלת הכלליות לרשום p=2m+1 ו-q=2n ואז פשוט לפשט עד שאתה מגיע לביטוי במסקנה.
&nbsp
אם אתה לא מגיע לביטוי מתאים כבמסקנה אז אתה צריך למצוא דוגמא נגדית.
בדר"כ כשמוכיחים משהו, המסקנה כבר נמצאת ברישא של הטענה.
&nbsp

 

S

shahars10

Member

• 12/10/16

• #3

לגבי מה שרשמת

עבור הנתון הראשון, כתבת אותו בצורה אחרת. עבור c ו-d, יתכן ש c=0 אם d=1 ו- q=1. כנ"ל כמובן עבור d=0.
לגבי הנתון השני, יתכן כמובן ש q אי זוגי ו p זוגי.
בכל מקרה, עדיין אני לא רואה מכאן קצה חוט להוכחה.
קיימת, אגב, "הוכחה" של אוילר לטענה הזאת, אבל היא שגויה.
תודה

 

A

AnarchistPhilosopher

Well-known member

• 12/10/16

• #4

אני מקבל את ההערה הראשונה, טעות שלי.

בכל מקרה, מהיכן לקוחה הבעיה? אתה אומר שאוילר לכאורה "הוכיח" את הטענה.
&nbsp
ד"א זו לא תהיה הפעם הראשונה (ובוודאי לא הפעם האחרונה) שיש טעויות במחקר.

 

S

shahars10

Member

• 12/10/16

• #5

מצורף לינק

http://fermatslasttheorem.blogspot.co.il/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html
הטענה הזאת היא חלק מההוכחה של אוילר למשפט האחרון של פרמה עבור n=3. יתר החלקים נכונים...

 

A

AnarchistPhilosopher

Well-known member

• 13/10/16

• #6

יש לי שאלה.

האם מצאת דוגמא שמקיימת את הנחות הטענה?
&nbsp
אפשר להריץ קוד שיחפש עבור עד מליון או משהו כזה, אבל זה ירוץ מאוד לאט, ואני לא בטוח איך להתנות את תנאים 1 ו-3 (טוב את 1 יש כבר אלגוריתם למחלק משותף מקסימלי אבל את תנאי 3 צריך להריץ על כמה תנאים).
&nbsp
ניסיתי לחפש כמה דוגמאות שמקיימות את הנחות המשפט אבל לא מצאתי, האם יש כאלה?
&nbsp
אם אין דוגמאות כאלה אז המשפט אכן פסוק אמת אבל לא מעניין במיוחד כי הרישא שקרי.
&nbsp

 

S

shahars10

Member

• 14/10/16

• #12

בוודאי

יש הרבה. כנראה אינסוף. לא הוכחתי...
קח למשל p=10, q=9
במקרה הזה u=7
a=-2, b=1 פותרים את המשוואות.

 

עריסטו

Active member

• 13/10/16

• #7

תסתכלו פה

[URL]http://www.mathpages.com/home/kmath009/kmath009.htm[/URL]

 

A

AnarchistPhilosopher

Well-known member

• 13/10/16

• #8

משהו שאני לא מבין.

מתחת למשוואה (1) רשום ש-
since z is even, u must be even and v must be odd
&nbsp
אבל אם z זוגי אז צד ימין של (1) מתחלק ב-8 אם u זוגי אז 2u מתחלק ב-4 אבל אם v אי זוגי אז הביטוי u^2+3v^2 הוא אי זוגי כי 3v^2 אי זוגי ו-u^2 זוגי אז הסכום שלהם אי זוגי, ולכן זה לא בהכרח מתחלק ב-2
אז איפה הגורם החסר?
&nbsp
&nbsp

 

A

AnarchistPhilosopher

Well-known member

• 13/10/16

• #9

צריך לטעון שu מתחלק ב-4 ואז זה מסתדר.

 

A

AnarchistPhilosopher

Well-known member

• 14/10/16

• #10

נתקעתי במשהו אחר.

הספקתי כבר לשכוח כנראה דברים בסיסיים בתורת המספרים האלמנטרית.
&nbsp
אבל למה מתקיים הדבר הבא: First, assume z is not divisible by 3. In this case 2u is co-prime to u^2 + 3v^2
&nbsp
כאשר u ו-v הם זרים.
&nbsp
ניסיתי להסתכל על זה מבחינת חשבון שאריות, אם z לא מתחלק ב-3 אז הוא משאיר שארית 1 או 2 בחלוקה ב-3, וכאשר מעלים בשלישית השארית נשארת אותו הדבר.
3v^2 משאיר שארית אפס, לא ברור לי איך להמשיך משם.
&nbsp

 

עריסטו

Active member

• 14/10/16

• #11

ככה

אם ל- 2u ול- u^2+3v^2 יש מחלק משותף גדול מ- 1, אז הוא מחלק כל צירוף לינארי שלהם עם מקדמים שלמים ובפרט את
2(u^2+3v^2)-2u^2 = 3v^2
כלומר ל- 2u ול - 3v^2 יש מחלק משותף גדול מ- 1. מכיוון ש- u, v זרים ו- v אי זוגי האפשרות היחידה היא שהמחלק הזה הוא 3. אבל אז u מתחלק ב- 3 וגם z מתחלק ב- 3.

 

A

AnarchistPhilosopher

Well-known member

• 14/10/16

• #13

רגע.

יש לך טעות חישוב זה צריך להיות 6v^2 שכחת לכפול את 3v^2 פי 2.
&nbsp
ואז אכן ל-2u ול-6v^2 יש מחלק משותף גדול ביותר שהוא או 2 או שהוא המחלק המשותף של 2u ו-u^2+3v^2 שאותו אנו לא יודעים אם הוא גדול מ-2 או שווה ל-2.
&nbsp
לא נראה לי שהמשך הטיעון שלך נכון.
&nbsp

 

עריסטו

Active member

• 14/10/16

• #14

אני מתקן

אם ל- 2u ול- u^2+3v^2 יש מחלק משותף גדול מ- 1, אז הוא מחלק כל צירוף לינארי שלהם עם מקדמים שלמים ובפרט את
2(u^2+3v^2)-2u^2 = 6v^2
כלומר ל- 2u ול - 6v^2 יש מחלק משותף d גדול מ- 1. מה המחלק הזה יכול להיות? מכיוון שהוא גם מחלק של u^2+3v^2 שהוא אי זוגי (כי u ו- v הם בעלי זוגיות הפוכה), d אי זוגי. לכן d הוא גם מחלק משותף של u ו- 3v^2. מכיוון ש- u, v זרים האפשרות היחידה שיהיה ל- u ו- 3v^2 מחלק משותף גדול מ- 1 היא אם המחלק הזה הוא 3 ו- u מתחלק ב- 3. אבל אז גם z מתחלק ב- 3 בסתירה להנחה.

 

A

AnarchistPhilosopher

Well-known member

• 14/10/16

• #15

עכשיו זה בסדר.

אם יהיו לי עוד שאלות על המאמר הזה אני אנצל את השרשור הזה, מקווה שתהיה היענות.
&nbsp

 

S

shahars10

Member

• 21/10/16

• #16

מישהו מבין את ההוכחה של lemma 4 ?

הלכתי לגמרי לאיבוד...

 

S

shahars10

Member

• 24/10/16

• #17

הבנתי את lemma 4 בסופו של דבר

ההוכחה של ה- quadratic reciprocity
פשוט נראית לי מטורפת. מי הגאונים שחושבים על כאלה הוכחות ?
תודה בכל אופן.