התכנסות במ"ש של טור חזקות על כל הישר הממשי

G

globus1988

New member

• 10/12/15

• #1

התכנסות במ"ש של טור חזקות על כל הישר הממשי

איך ניתן להוכיח שטור חזקות מתכנס במ"ש על כל הישר הממשי אמ"מ רדיוס ההתכנסות שלו הוא אינסוף והוא פולינום?

 

1

1ca1

New member

• 10/12/15

• #2

לא בריא להוכיח דברים לא נכונים

טור חזקות מתכנס בכל הישר הממשי אמ"מ רדיוס ההתכנסות הוא אינסוף, זה נובע מהגדרת רדיוס ההתכנסות (+העובדה שספציפית לטור חזקות, אם אתה מתכנס ברדיוס R, אתה מתכנס בכל רדיוס קטן מ-R גם כן, ממבחן ההשוואה).
&nbsp
אבל זה שאתה מתכנס בכל הישר לא אומר בהכרח שאתה פולינום, e^x, sinx, cosx ועוד המוני פונקציות אנליטיות לא יסכימו איתך לגבי זה.

 

G

globus1988

New member

• 10/12/15

• #3

רגע, אני מבולבל:

אם רדיוס ההתכנסות של טור חזקות הוא אינסוף אז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש בכל קטע סופי, אבל עדיין יכול להיות שהוא לא מתכנס במ"ש בישר כולו R.
הסתכלתי עכשיו בערך של טור חזקות בוויקיפדיה ונכתב שם שאם לטור חזקות רדיוס התכנסות של אינסוף אז הוא מתכנס במ"ש בכל המרחב אמ"מ הוא פולינום...

 

1

1ca1

New member

• 11/12/15

• #4

אוקיי זה משהו אחר

התכנסות במ"ש בכל הישר.
&nbsp
נניח שהטור Sn(x) מתכנס ל-p(x) במידה שווה.
מכאן הוא סדרת קושי בנורמת סופ, כלומר לכל e יש N0 כך שלכל n,m>N0 מתקיים
zz sup|Sn(x)-Sm(x)|<e zz
והסופ הוא על כל x ב-R.
אם המקדמים של הטור לא מתאפסים אחרי N מספיק גדול, הדבר הזה הוא פולינום.
אין פולינום שהוא תמיד קטן על כל R, הרי מתישהו הוא מתחיל להמריא. p(x)>(1-delta)ad*x^d אם הפולינום ממעלה d או משהו עם מקדם מוביל ad), וסתירה.