אתה משתמש בדפדפן מיושן. יתכן והאתר הנוכחי יוצג באופן שגוי, כמו כן אתרים אחרים ברשת.
אנא שדרג את הדפדפן או השתמש בדפדפן חילופי.
אנא שדרג את הדפדפן או השתמש בדפדפן חילופי.
חישוב אינטגרל מוכלל
- פותח הנושא Evil Guy
- פורסם בתאריך
AnarchistPhilosopher
Well-known member
באינטגרציה מרוכבת זה פשוט לחפש קטבים.
אפשר לשים לב שהאינטגרנד הוא פונקציה זוגית, לכן האינטגרל הזה שווה לפעמיים האינטגרל מ-0 עד אינסוף.
ואז להחליף משתנים x^-1=t, מקבלים אינטגרנד מהצורה: sin^2(t)dt/t^2.
ואז אפשר לקחת מעגל מסביב לראשית עם רדיוס גדל לאינסוף ואז משפט השארית. (אני חושב שבן ציון קון מחשב את זה בספר הירוק שלו במרוכבות).
אני לא זוכר איך מחשבים את זה באמצעות חדו"א רגילה.
אפשר לשים לב שהאינטגרנד הוא פונקציה זוגית, לכן האינטגרל הזה שווה לפעמיים האינטגרל מ-0 עד אינסוף.
ואז להחליף משתנים x^-1=t, מקבלים אינטגרנד מהצורה: sin^2(t)dt/t^2.
ואז אפשר לקחת מעגל מסביב לראשית עם רדיוס גדל לאינסוף ואז משפט השארית. (אני חושב שבן ציון קון מחשב את זה בספר הירוק שלו במרוכבות).
אני לא זוכר איך מחשבים את זה באמצעות חדו"א רגילה.
מה הכוונה כאן בפתרון?
אנרכיסט הסביר איך באמת לחשב את האינטגרל.
אם אתה מעוניין רק בלהראות שהוא מתכנס, אז צריך להתחיל לחשב דעיכה גם ליד אפס, וגם ליד אינסוף (הרי זה אינטרל מסוג III, יש בעיות גם ב-0 וגם באינסוף).
הפונקציה זוגית אז מספיק לחשוב כאן על אפס עד אינסוף.
ליד אינסוף, האינטגרל מתכנס, כי ל-xים מאוד קטנים, sin(x)~x, וע"י ההצבה של 1/x, מקבלים שזה דומה לאינטגרל של zz Sdx/x^2 zz שהוא מתכנס.
נשאר לטפל בזה ליד האפס.
אבל מתברר שאין כאן "בעיה" אמיתית.
הפונקציה לא מתפוצצת, היא קטנה תמיד מ-1, ולכן האינטגרל שלה מתכנס בקטע נניח zz [0,1] zz.
וסיימת...
אנרכיסט הסביר איך באמת לחשב את האינטגרל.
אם אתה מעוניין רק בלהראות שהוא מתכנס, אז צריך להתחיל לחשב דעיכה גם ליד אפס, וגם ליד אינסוף (הרי זה אינטרל מסוג III, יש בעיות גם ב-0 וגם באינסוף).
הפונקציה זוגית אז מספיק לחשוב כאן על אפס עד אינסוף.
ליד אינסוף, האינטגרל מתכנס, כי ל-xים מאוד קטנים, sin(x)~x, וע"י ההצבה של 1/x, מקבלים שזה דומה לאינטגרל של zz Sdx/x^2 zz שהוא מתכנס.
נשאר לטפל בזה ליד האפס.
אבל מתברר שאין כאן "בעיה" אמיתית.
הפונקציה לא מתפוצצת, היא קטנה תמיד מ-1, ולכן האינטגרל שלה מתכנס בקטע נניח zz [0,1] zz.
וסיימת...
תגובה
לגבי 2, אנחנו יודעים שעבור yים קטנים, siny~y.
אפשר לקבל את זה מהגבול siny/y->1.
כלומר למשל, siny>0.5y עבור yים מספיק קטנים.
עכשיו y=1/x, ומקבלים
sin(1/x)>0.5/x
עבור xים מספיק גדולים.
ומכאן עושים אינטגרל ומקבלים שהא"ש נשמר מהמונוטוניות של האינטגרל, וצד ימין יוצא משהו כמו ln ולכן שואף לאינסוף באינסוף.
לגבי 3, החישוב המלא הוא בכיוון שאנרכיסט תיאר, אבל אין בו צורך כאן, רק צריך להראות שהאינטגרל הוא סופי.
אז צריך להראות שהזנב האינסופי של sin(1/x)^2 מתכנס.
(החלק ליד האפס כמו שאמרתי, חסום אז אין בעיה).
לגבי הזנב האינסופי, זה בדיוק אותו רעיון כמו מקודם, אפשר בקלות להראות א"ש מהסגנון
zz sin(1/x)<=1.5/x zz
ולכן גם בריבוע מקבלים את זה.
עכשיו הזנב האינסופי באינטגרל של zz 1.5/x^2 zz מתכנס מחישוב ישיר.
אין צורך בחישוב מדוייק כאן (למרות שזה אפשרי, אבל זה דורש טכניקות מפונקציות מרוכבות).
לגבי 2, אנחנו יודעים שעבור yים קטנים, siny~y.
אפשר לקבל את זה מהגבול siny/y->1.
כלומר למשל, siny>0.5y עבור yים מספיק קטנים.
עכשיו y=1/x, ומקבלים
sin(1/x)>0.5/x
עבור xים מספיק גדולים.
ומכאן עושים אינטגרל ומקבלים שהא"ש נשמר מהמונוטוניות של האינטגרל, וצד ימין יוצא משהו כמו ln ולכן שואף לאינסוף באינסוף.
לגבי 3, החישוב המלא הוא בכיוון שאנרכיסט תיאר, אבל אין בו צורך כאן, רק צריך להראות שהאינטגרל הוא סופי.
אז צריך להראות שהזנב האינסופי של sin(1/x)^2 מתכנס.
(החלק ליד האפס כמו שאמרתי, חסום אז אין בעיה).
לגבי הזנב האינסופי, זה בדיוק אותו רעיון כמו מקודם, אפשר בקלות להראות א"ש מהסגנון
zz sin(1/x)<=1.5/x zz
ולכן גם בריבוע מקבלים את זה.
עכשיו הזנב האינסופי באינטגרל של zz 1.5/x^2 zz מתכנס מחישוב ישיר.
אין צורך בחישוב מדוייק כאן (למרות שזה אפשרי, אבל זה דורש טכניקות מפונקציות מרוכבות).
טוב, הבנתי
רשמית יש בעיה - מה ההגדרה של f ב-0.
אז כל עוד מרשים שהפונקציה תהיה מוגדרת על קבוצות פתוחות, שהנקודות קצה שלהן פשוט לא נמצאות בהגדרה, לרוב אין עם זה בעיה (כמו בטאנגנס), לא למטרות אינטגרציה ולא לכל מטרה אחרת.
כל הרעיון של PC היא שיש בעיות בנקודות מסויימות, אין טעם לשאול שם על גבולות כי יש שם בעיות הרי. אבל למשל למטרות אינטגרציה אפשר להתעלם ממספר סופי של נקודות אז זה לא מפריע בכלל.
רשמית יש בעיה - מה ההגדרה של f ב-0.
אז כל עוד מרשים שהפונקציה תהיה מוגדרת על קבוצות פתוחות, שהנקודות קצה שלהן פשוט לא נמצאות בהגדרה, לרוב אין עם זה בעיה (כמו בטאנגנס), לא למטרות אינטגרציה ולא לכל מטרה אחרת.
כל הרעיון של PC היא שיש בעיות בנקודות מסויימות, אין טעם לשאול שם על גבולות כי יש שם בעיות הרי. אבל למשל למטרות אינטגרציה אפשר להתעלם ממספר סופי של נקודות אז זה לא מפריע בכלל.
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.