איך פותרים את השאלה הבאה (טור טיילור):

E

eyalbroyer

New member

• 17/8/12

• #1

איך פותרים את השאלה הבאה (טור טיילור):

הערך בקירוב את שורש חמישי של (17/16), בדיוק של R<1/100, באמצעות טור טיילור מתאים.

ברור לי שצריך למצוא את n של הטור טיילור, אבל איך עושים את זה???

 

1

1ca1

New member

• 17/8/12

• #2

איפה נתקעת?

 

E

eyalbroyer

New member

• 17/8/12

• #3

אין לי קצה חוט...

 

1

1ca1

New member

• 17/8/12

• #4

לא ראית בתרגול אף פעם איך לעשות דבר כזה?

רמז - שארית לגרנז'...

 

E

eyalbroyer

New member

• 17/8/12

• #5

אני צריך לגלות את הנגזרת של f(c) , נכון?

 

E

eyalbroyer

New member

• 17/8/12

• #6

תראה אני אגיד לך משהו

אני זוכר שראיתי שאלה דומה - אבל שם הייתה נתונה הפונקציה e^x, ואז כן יכולתי לגלות הנגזרת של f(c) כי הרי הנגזרת של e^x תמיד תהיה הוא עצמו.
אבל כאן במקרה זה איני יודע למצוא אותו..

 

M

Madridista7

New member

• 17/8/12

• #7

במה הסתבכת?

כל הפואנטה בסוג כזה של שאלות, זה לבחור פונקציה מתאימה ש"תחשב" משהו קרוב למה שאתה מחפש: כאן אתה רואה שיש דרישה לחישוב שורש, אז מן הסתם תרצה פונקציה בסגנון sqrt(x) z.

אחר כך אתה צריך לשאול את עצמך באיזה נקודה כדאי לי לפתח את הטור, כך ש"ההפרש/מרחק" בין הנק' שאתה נדרש לחשב לבין הנקודה שסביבה פיתחת את הטור יהיה קטן וקל.
לדוגמה כאן כדאי לפתח סביב הX=1, והמרחק בין הנקודה שאתה נדרש לחשב ל1 יהיה 1/16.

עכשיו הדיוק נקבע לפי איבר השארית לפי לגראנז' כמובן.

 

E

eyalbroyer

New member

• 17/8/12

• #8

לא למדנו לגרנז' בהקשר להערכה בקירוב

אולי אתה מתכוון לחסימת השגיאה?

בכל מקרה, אני לא מבין איך פותרים את זה..אשמח אם מישהו מכם יעלה פתרון....

 

E

eyalbroyer

New member

• 17/8/12

• #9

מישהו....?

 

T

Tomerb88

New member

• 18/8/12

• #10

תסתכל על הטור טיילור

של zz sqrt(1+x) zz (בויקיפדיה למשל) ותראה שהוא טור מחליף סימן.
הוא מתכנס ל |x| קטן מ-1 וה-x שלנו הוא 1/16- ולכן גם הערך המוחלט של האיברים קטן ככל ש-n גדול יותר. (שאלה למתמטיקאים - האם באמת ההתכנסות של טור טיילור + סימנים מתחלפים -> הערך המוחלט של האיברים קטן? לשואל השאלה - אם זה לא נכון, אפשר להוכיח את זה באינדוקציה)
זה אומר שמדובר בטור לייבניץ.
לכן אם תמצא איבר (n כלשהו) שערכו המוחלט קטן מהשגיאה אז הטור שאתה מחפש הוא הטור שעד האיבר הזה (מה שהיה נקרא אצלנו מציאת שארית עפ"י לייבניץ).
תרשום את המקדם ותציב את ה-x המתאים (1/16) ואז תציב n-ים שונים עד שתמצא איבר שקטן מ-1/100
כש - n=3 האיבר קטן מספיק ולכן לטור שאתה מחפש יהיו 2 איברים (שהראשון בהם הוא 1).

 

E

eyalbroyer

New member

• 18/8/12

• #11

אין לי מושג מה זה טור לייבניץ....אני מציע

שאולי מישהו בכל זאת יואיל להעלות כאן פתרון - אולי רק אז אני אבין.