NxN->N

[clocker]

NxN->N

נסמן בN את קבוצת המספרים הטבעיים

N={1,2,3,...}​

ונסמן בNxN את קבוצת זוגות המספרים, שכל אחד מהם טבעי

N={(n,m):טבעיים m ו n כאשר}​

מצא פונקציה מNxN לN, כך ש 1. אם f(m,n)=f(x,y)1 אזי x=m, y=n 2. לכל מספר טבעי k, קיימים n וm כך שf(m,n)=k אלו מכם שלמדו תורת הקבוצות\מתמטיקה דיסקרטית יודעים שקיימת פונקציה כזו. ואלו מכם שהיה להם מתרגל\מרצה חרוץ, גם יודעים מה היא הפונקציה.

 

[1אברהם]

../images/Emo62.gif

f(n,m)= (m+n)*(m+n-1)/2 -(n-1)​

 

[עריסטו]

עוד אפשרות

f(n,m)=2^(n-1)*(2*m-1)​

 

[עריסטו]

חידה על פתרונו של 1אברהם

איך נחשב מתוך f(n,m) את n ו - m? מותר להשתמש בארבע פעולות חשבון יסודיות, floor ו - ceiling.

 

[1אברהם]

מותר להשתמש בשרש?

אם כן בהנתן p מספר טיבעי p=f(n,m)zzz אז ניתן לקבל את n,m :

k=round( sqrt(2*p)) n=k*(k+1)/2-p+1 m=k-n+1;​

הערה: round מחזיר את השלם הקרוב ביותר ( ניתן לממש round על ידי floor )

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif שכחתי לכתוב שמותר שורש

 

[עריסטו]

../images/Emo207.gif

שאלה דומה: למצוא פונקציה הפיכה (כלומר חד-חד-ערכית ועל) מקבוצת המספרים הממשיים לקבוצת המספרים הממשיים האי-רציונליים.

 

[טלמון סילבר]

ניסיון גס.

יהי π - מספר אי-רציונלי כלשהו, למשל היחס בין אורך מעגל לבין קוטרו, שגם כל החזקות הטבעיות שלו אי-רציונליות. {

חידה נפרדת: צריך למצוא כזה מספר, ושגם קל להוכיח שהוא כזה } תהי (D(x פונקציית דיריכלה:

D(x) = { x ∈ Q } (כן - 1, לא - 0) :נגדיר שתי פונקציות דומות ∞ ΣD( x / (π^n) ) = A(x) n=0 ∞ ΣD( x / (π^n) ) = B(x) n=1 :ועוד 2 a(x) = (π - 1)A(x) + 1 b(x) = (π - 1)B(x) + 1 :והפונקציה שאנו מחפשים היא f(x) = x * a(x) :והפונקציה ההפוכה שלה היא g(x) = x / b(x)​

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo128.gif חבל, נקודה אחת מיותרת - 0.

צריך לעבור לשיטה הרגילה של סדרה אינסופית. משהו עם חיבור וחיסור במקום כפל וחילוק, כשהסכום האינסופי רץ לשני הכיוונים. משהו כזה.

 

[thankful]

זה כבר אינפי ...

זוכר את אי-רציפותה של פונקציית דיריכלה ? אין לה אפילו נקודות אי-רציפות ממין שני ... (עד כמה שאני זוכר)

 

[טלמון סילבר]

עם חיבור במקום כפל זה נראה לי בסדר

יהי π - מספר אי-רציונלי כלשהו, למשל שורש של 2. תהי (D(x פונקציית דיריכלה:

D(x) = { x ∈ Q } (כן - 1, לא - 0) :נגדיר שתי פונקציות דומות ∞ ΣD( x - nπ ) = A(x) n=0 ∞ ΣD( x / nπ ) = B(x) n=1 :ועוד 2 a(x) = (π - 1)A(x) + 1 b(x) = (π - 1)B(x) + 1 :והפונקציה שאנו מחפשים היא f(x) = x + a(x) :והפונקציה ההפוכה שלה היא g(x) = x - b(x)​

 

[טלמון סילבר]

שוב טעויות! הפעם, אני מקווה,

זה גם נכון, וגם פשוט יותר: יהי π - מספר אי-רציונלי כלשהו, למשל שורש של 2. תהי (D(x פונקציית דיריכלה:

D(x) = { x ∈ Q } (כן - 1, לא - 0) :נגדיר שתי פונקציות דומות ∞ ΣD( x - nπ ) = A(x) n=0 ∞ ΣD( x - nπ ) = B(x) n=1 :והפונקציה שאנו מחפשים היא f(x) = x + πA(x) :והפונקציה ההפוכה שלה היא g(x) = x - πB(x) :וההגדרות הישירות אחרי ההצבה f(x) = x + πΣD( x - nπ ) (n = 0, 1, 2, 3, . . .) g(x) = x - πΣD( x - nπ ) (n = 1, 2, 3, . . .)​

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif זה נראה נכון

 

[thankful]

אה ... מתימטיקה דיסקרטית ../images/Emo6.gif

כן , ראיתי ש - NXN ... זו מכפלה קרטזית

גם לפי החידה ראיתי שיש קשר חד-חד-ערכי בינה לבין דיסקרטית