גאומטריה

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif גאומטריה

נתון משולש ABC, ונקודות: 'A - נקודה על צלע BC 'B - נקודה על צלע AC 'C - נקודה על צלע AB נתונים היחסים:

BA' : A'C = t : (1 - t) CB' : B'A = u : (1 - u) AC' : C'B = v : (1 - v)​

באיזה יחס הקטעים 'AA ו-'BB מחלקים זה את זה? באיזה יחס הקטעים 'AA ו-'CC מחלקים זה את זה? באיזה יחס הקטעים 'BB ו-'CC מחלקים זה את זה? מהו התנאי לכך, ששלושת הקטעים הנ"ל נפגשים בנקודה אחת?

 

[עריסטו]

רמז

חישבו על שלש מסות שונות הנמצאות בקדקודי המשולש. כדי לחשב את מרכז הכובד שלהן ניתן למצוא את מרכז הכובד של שתיים כלשהן, ואז למצוא את מרכז הכובד שלו ושל המסה השלישית.

 

[the YOOK]

השיטה של ארכימדס...

אם אני לא טועה... שיטה יפה. בכל מקרה את המשפט הזה הוכחתי פעם בעזרת חישובי שטחים בעזרת פונקציות טריגונומטריות (אם מחברים אותם, הכל מתבטל יפה), אבל אפשר גם בשיטה שלך (שיש בה יותר חן לדעתי).

 

[עריסטו]

נכון, לארכימדס היתה שיטה להתבונן

בבעיות מתמטיות כאילו הן בעיות פיזיקליות.

 

[טלמון סילבר]

שיטה נוספת היא

חישוב יחסֵי שטחים, בלי שום טריגונומטריה.

 

[the YOOK]

בכל מקרה אין כל כך הבדל...

מכיוון שהכל בסוף מצתמצם אז זה לא כזה משנה... אבל לדעתי הרבה יותר קל לרשום את ההוכחה עם טריגונומטריה (זה הרבה יותר מהיר)

 

[טלמון סילבר]

הצג בבקשה את פתרון

השאלה השנייה: מהו התנאי ששלושת הקטעים 'AA 'BB 'CC נפגשים בנקודה אחת? ואח"כ אציג פתרון גאומטרי פשוט בלי שום טריגונומטריה.

 

[the YOOK]

../images/Emo35.gifאם אפשר- חידה נוספת

גם גיאומטרית (בערך). האליפסה מוגדרת כמקום הגיאומטרי של כל הנקודות שסכום מרחקן משני מוקדים (נקודות קבועות במישור) קבוע (כמו באיור א'). ניתן לצייר למשל אליפסה על ידי שני מסמרים בלוח עץ, וחוט שכרוך עליהם על ידי כך ששמים את העיפרון בלולאה שנוצרה ומותחים (מציירים לכל האורך בצורה הכי מתוחה). זוהי אליפסה מכיוון שאורך החוט נשאר קבוע (אם תורידו את המרחק בין המסמרים שתמיד לא ישתתף בסכום המרחקים, אך גם הוא קבוע). ועכשיו לחידה: הוכיחו כי בכל נקודה על גבי האליפסה, הזוויות בין הקווים מהמוקדים למשיק בנקודה זו שוות (איור ב'). אם תצטרכו רמז... אני אנסה לספק. מקווה שהכל מובן. בהצלחה!

 

[עריסטו]

רמז (בעצם שניים)

רמז לדרך פתרון ראשונה: חישבו על שני מסמרים התקועים בקיר (כל אחד בגובה שונה), בין המסמרים מחבר חוט לא מתוח (אורכו גדול מהמרחק בין המסמרים), ועל החוט יש טבעת כבדה החופשית להחליק לאורך החוט. רמז לדרך פתרון שניה: חישבו על הבעיה הבאה - יש נהר ישר שמחלק ארץ מסויימת לשני חלקים. באחד החלקים יש בית של מישהו. אותו אדם נמצא בעצמו באותו צד של הנהר שבו נמצא ביתו. הוא רוצה ללכת לנהר, לשאוב מים ולקחת אותם לביתו, כך שהמרחק הכללי שילך יהיה מינימלי.

 

[the YOOK]

"חדוות המתמטיקה"?

ספר חמוד...

 

[עריסטו]

נכון

 

[1אברהם]

../images/Emo62.gif

סכום מרחקי כל נקודה על האליפסה הוא קבוע s סכום מרחקי כל נקודה על הישר גדול מ s חוץ מנקודת ההשקה שסכום מרחקיה מהמוקדים שווה ל s ==> סכום מרחק נקודת ההשקה למוקדי האליפסה הוא הקצר ביותר מכל הנקודות על הישר ==> זוית הפגיעה שווה לזוית ההחזרה (לפי הרמז של עריסטו )

 

[the YOOK]

../images/Emo127.gif יפה מאוד!!

אתה יכול אגב להעלות הוכחה שמינימום המרחק (סכום המרחקים) מתקבל כאשר זוית הפגיעה שווה לזווית ההחזה? אגב הפיתרון לפי הרמז השני שהציע עריסטו הוא מאוד יפה ואם יהיה לי זמן אני אעלה אותו מאוחר יותר (אלא אם מישהו רוצה לפתור בעצמו בשיטה זו...).