[snogal]

../images/Emo35.gif

פולינום (p(x ממעלה n מקיים את התכונות הבאות

p(0) = 0 p(1) = 1/2 p(2) = 2/3 .. p = n/(n+1)​

חשבו את (p(n+1

 

[עריסטו]

נסיון

נתבונן בפולינום ממעלה n+1

f(x) = (x+1)p(x)-x​

הוא מקיים

f(0) = f(1) = f(2) = ... = f = 0​

לכן יש לו פירוק כזה

f(x) = ax(x-1)(x-2)...(x-n)​

כלומר

f(n+1) = an!​

אבל

f(n+1) = (n+2)p(n+1)-n-1​

כלומר

an! = (n+2)p(n+1)-n-1 an!+n+1 = (n+2)p(n+1) p(n+1) = (an!+n+1)/(n+2)​

כעת עלינו לחשב את a.

f(-1) = 1​

(לפי הגדרתו) מצד שני

f(-1) = a(-1)(-2)(-3)...(-n-1) = (-1)^(n+1)*(n+1)!*a​

כלומר

a = (-1)^(n+1)/(n+1)!​

נציב ביטוי זה של a במה שקיבלנו קודם ונקבל

p(n+1) = ((-1)^(n+1)/n+n+1)/(n+2) = (n^2+n+(-1)^(n+1))/n(n+2)​

 

[clocker]

אהבתי ../images/Emo13.gif