חידה

[טלמון סילבר]

../images/Emo35.gif חידה

שהציע ידיד שלי (חובב, לא מקצוען). מהו האורך הכללי המינימלי של רשת, בה אפשר לעטוף כדור כך שהוא לא יפול ממנה?

 

[inbal76]

לא הבנתי

האם אתה מתכוון מה האורך של צלע ריבוע ברשת?

 

[טלמון סילבר]

בערך.

הרשת מורכבת מקשתות המונחות על פני הכדור. למשל: חוט העובר סביב "קו המשוה", + חוט העובר דרך "קו אורך 0° וקו אורך 180°" - האורך הכללי של הרשת יהיה במקרה זה 4πR. אם ניקח רק על "קו המשוה", אז זה לא טוב, כי הרשת אינה מחזיקה את הכדור.

 

[Moonshadow]

מנסה את מזלי...

האורך של הרשת חייב להיות גדול מאורך חתיכת החבל המקיפה את הכדור לאורך "קו המשווה". כי הרי אם תהיה הרשת בנויה רק לאורך אותו הקו, הכדור יכול ליפול, אבל אם טווים עוד טבעת מחתיכת החבל הקטנה ביותר האפשרית, בעצם חוסים את נתיב הנפילה של הכדור... (באופן היפותטי כמובן, ובהנחה שהרשת צמודה ולא אלסטית לחלוטין, שלא כמו כל רשת אמיתית....) שווה משהו?

 

[טלמון סילבר]

מצטער, הסברתי לא טוב.

הרשת רגילה, אלסטית. "נפילה" - לא התכוונתי בגלל כוח המשיכה, אלא שאפשר להוציא את הכדור. טבעת זה לא טוב, כי ניתן להזיז אותה בקלות, וגם אפשר להוציא את הכדור מלמעלה.

 

[inbal76]

המממ... רגע

אם הרשת אלסטית, אז גם שתי טבעות מאונכות זו לזו (כפי שהדגמת בתשובתך הקודמת אלי) לא יעבדו. כי אפשר להזיז את הקשתות שלהן על פני הכדור כך ששתי הטבעות "יתלכדו" ואז אפשר להוציא. לא?

 

[טלמון סילבר]

צודקת בהחלט!

נתתי דוגמה לא טובה. נוסיף טבעת שלישית מאונכת לשתי הראשונות. ובכלל, כדי להיות בטוחים שהכדור לא יוכל לעבור דרך חור מסויים של הרשת, מספיק שהיקף החור יהיה קטן מ-2πR.

 

[hnnr]

פתרון אינטואיטיבי

נראה לי שהרשת צריכה להיות בצורת טטרהדר שעוטף את הכדור. אפשר לקצר אותה יותר אם במקום שכל צלע תהיה קו ישר - היא תרוץ על המעגל הגדול של הכדור והקודקודים של הטטרהדר יהיו על הכדור. לגבי האורך הכולל של הרשת: לטטרהדר יש 6 צלעות. כל "צלע" שלו היא שליש מעגל, סה"כ פעמיים הקף הכדור.

 

[טלמון סילבר]

הערות.

1. כרגע לא ידוע לנו (למחבר החידה ולי) פתרון שאינו אינטואיטיבי. 2. קווים ישרים לא יכולים להיות, רק קשתות על... המעגלים הגדולים. 3. נדמה לי שעם הטטראדר זה יוצא... קצת פחות מפעמיים היקף המעגל, אבל לא בדקתי. 4. יש רשת יותר טובה מטטראדר.

 

[needtoask]

ה זה טטראדר?

 

[טלמון סילבר]

פירמידה משולשת שכל 4 פיאותיה

משולשים שווי-צלעות. או: פירמידה בעלת 4 קודקודים, שכל המרחקים ביניהם שווים (בין כל זוג קודקודים).

 

[שייח ספיר]

../images/Emo62.gif

הפתרון הכי מוצלח שהגעתי אליו: שני מעגלים מקבילים (קווי רוחב) הנמצאים בזווית של 30 מעלות (פלוס אפסילון) מהקטבים (כלומר 60 מעלות משני צדי קו המשווה), מחוברים בינהם בשלוש קשתות שוות (קטעים מקווי אורך) במרחקים שווים זו מזו. סך כל אורך הרשת: 4*pi*R.

 

[טלמון סילבר]

הערות

א. מצאנו יותר קצר. כמדומני גם הטטראדר יותר קצר. ב. ההצעה שלך ניתנת לשיפור מיידי: במקום מעגל בקו הרוחב, אפשר לקחת את שלוש הקשתות הקצרות ביותר המחברות בין שלוש נקודות החיבור שהיצעת (על פני המעגלים הגדולים של הכדור).