תורת המספרים 2

[srulikbd]

תורת המספרים 2

קליל כמו הקודם, נתון מספר טבעי M. הוכח שקיים מספר שמתחלק ב-M כך שסכום ספרותיו (בייצוג עשרוני) אי-זוגי. יאללה כמה שיותר פתרונות

. מצאתי 1, ובערים יש אחד שונה.

 

[ןן גיל ןן]

הפתרון שלי

לכל מספר יש כפולה מהצורה 111111110000000 (כלומר רצף של אחדות ואחריו רצף אפסים). אם מספר האחדות בכפולה זו הוא זוגי אז נכפול את המספר ב 987 ונקבל מספר מהצורה 109666665570000000 (כאשר מס' הספרות 6 תלוי במס' האחדות, מס' הספרות 0 תלוי במס' האפסים במספר המקורי, והשאר נשאר קבוע) - ובמספר זה סכום הספרות איזוגי. (הערה: העובדה שלכל מספר יש כפולה מהצורה 1111100000 היא חידה מפורסמת ואם אתם לא מכירים אוכל לפרסם את הפתרון).

 

[srulikbd]

בקשר למס הפעמים ש6 מופיע

11100*987=10955700 למה 6 לא מופיע? ובקשר לחידתך פתרתי קליל

 

[ןן גיל ןן]

כי:

מס' ה 6-ים קטן ב-3 ממס' ה 1-ים.

 

[srulikbd]

פתרון חביב איך הגעת לזה שצריך

לכפול ב 987?

 

[ןן גיל ןן]

פשוט-

שיחקתי עם המחשבון. ומה הפתרון שלך?

 

[srulikbd]

הפתרון שלי לא משהו

הלכתי על זה שאם נגרור עשרת אז הזוגיות תשתנה, אז את ה מוסיף אפסים כך שתחבר את הספרה הימנית של המספר לספרה השמאלית שלה, ולפני זה צריך להראות שכשנחבר הם יעקפו את עשר, ושלא יהיה 9 אחרי זה...קיצר של טלמון עדיף גם חשבתי על זה שאפשר אולי להוכיח שכל הספרות יהיו קטנות מ5 אחרי כמה פעולות, והשמאלית תיהיהגדולה מ4, אז כשנכפול ב2 הכל זוגי חוץ מהשמאלי, אבל התחלתי להסתבך אז עזבתי אתזה...

 

[טלמון סילבר]

הפתרון שלי.

נכתוב את המספר M ונוסיף "הרבה מאוד" אפסים מימין. התקבל מספר שמתחלק ב-M. נפחית ממנו את M. שוב התקבל מספר המתחלק ב-M. במספר זה יש רצף של הרבה "9". נחזור שוב על פעולה זו מההתחלה, אבל הפעם ניקח "0" אחד יותר, ויתקבל גם "9" אחד יותר! לכן, אם סכום הספרות של אחד מהפרשים אלה זוגי, אז סכום הספרות של ההפרש האחר הוא אי-זוגי.

 

[ןן גיל ןן]

יפה! ../images/Emo13.gif