שקילת מטבעות

[1lala]

שקילת מטבעות

יש לי 12 מטבעות.אחד מהם מזוייף , איך בעזרת 3 שקילות אדע איזה מטבע מזוייף? לא ידוע אם המטבע שוקל פחות או יותר משאר המטבעות

 

[Always Believing]

../images/Emo101.gif החידה עם הפתרון האהוב עליי

נכון גם עבור 13 מטבעות... שימו לב שעם המספרים 9,3,1 ניתן להגיע לכל מספר מ-1-12 (כן, גם 13, אבל לא עקרוני לצורך העניין), באמצעות חיבור ו/או חיסור (לאו דווקא משתמשים בכל המספרים). אגב, ניסיתי פעם להכליל את החידה הזו ונתקעתי איפשהו... נראה לי שאני אעלה את זה כאן שוב בקרוב...

 

[clocker]

בעזרת חזקות של 3 ומאזני כפות

ניתן לשקול כל משקל שלם. (זו ההכללה שחיפשת)

 

[Always Believing]

חלק ממנה...

את הקטע הזה כבר הבנתי, אבל עדיין יש לי בעיה מסויימת... חיפשתי את השרשור שפרסמתי פעם בקשר לזה... הנה קישור לשם: http://www.tapuz.co.il/tapuzforum/main/Viewmsg.asp?forum=631&msgid=42541413 זה מה שאני מחפשת... אהה, ואם אפשר גם הוכחה לתכונה הזו של חזקות של 3 זה יהיה נחמד

 

[עריסטו]

האם את מבינה מדוע

ניתן להביע כל מספר שלם בבסיס 3, כאשר הספרות הן 1-, 0 ו - 1?

 

[Always Believing]

לא ברור לי למה אתה מתכוון... ../images/Emo4.gif

 

[clocker]

ספירה בבסיס 3

אין כל כך הרבה שימושים (לפחות שידוע לי) לספירה בבסיס 3 (בניגוד לספירה על בסיס 2 או 16) כל מספר ניתן להציב בצורה יחידה בבסיס 3, המספר 10 בכל בסיס, הוא בעצם ערך הבסיס. בבסיס עשרוני, הרישום 10 מייצג את מספר האצבעות שיש לאדם הממוצע בידיים. בבסיס בינארי (בסיס 2), המספר 10 מייצג 2 בבסיס עשרוני ובבסיס טרינארי (בסיס 3), המספר 10 מייצג 3 בבסיס עשרוני. ואם נדבוק בשיטת המספור הטרינארי 100 מייצג 10 בריבוע, שזה 3 בריבוע בבסיס עשרוני, ז"א 9. בצורה דומה 1000 טרינארי הוא 27 וכן הלאה. שימי לב שהמספר 13 אינו מוגדר בבסיס טרינארי, משום שהספרה 3 ערכה הוא 10. לכן בבסיס טרינארי, אין ספרות החל מ3 ומעלה. רק המספרים 0,1,2 משתתפים בייצוג מספר. דוגמא: 121 טרינארי, כמה זה בעשרוני ? 10 בריבוע ועוד 2 כפול 10 ועוד 1, שזה בבסיס עשרוני 3 בריבוע ועוד 2 כפול 3 ועוד 1, שזה 9 ועוד 6 ועוד 1, זאת אומרת 16. *** לכל מספר יש ייצוג יחיד בכל בסיס*** לאחר ההקדמה הארוכה הנ"ל על בסיס טרינארי, נחזור לחידת השקילה. במקרה שלנו אנחנו לא משתמשים בספרות 0,1,2 אלא בספרות 1,0,-1 משום שהנחת משקולת לצד מה שאנחנו שוקלים במאזני כפות, משמעו לחסר. אם יש צורך בהרחבה נוספת אשמח לעזור

 

[Always Believing]

אוקיי, הבנתי פחות או יותר את עניין

הבסיסים, אבל עדיין לא ברור לי לגמרי איך זה עוזר בהכללת החידה?

 

[clocker]

להלן האלגוריתם

מעבר מבסיס טרינארי לבסיס "שקילות". כל פעם שיש לך 02 נחליף ב1-1 כל פעם שיש לך 12 נחליף ב2-1 כל פעם שיש לך 22 נחליף ב10-1 מתחילים מהסוף דוגמא 12021 בבסיס טרינארי, זה 142 בבסיס עשרוני נתחיל בהחלפות 12021 -> 121-11 -> 2-11-11 -> 1-1-11-11 שזה בבסיס שקילות 1 פחות 3 כפול מינוס ועוד שלוש בריבוע כפול 1 ועוד שלוש בשלישית כפול מינוס 1 ועוד שלוש ברביעיות כפול מינוס 1 ועוד שלוש בחמישית כפול 1. שזה 142 בבסיס עשרוני. אוקיי - הסברתי לך איך מייצגים כל מספר בבסיס טרינארי, הסברתי לך איך עוברים מבסיס טרינארי לבסיס "שקילות" מה שנותר להבהיר - זה איך מייצגים בסיס שקילות על מאזניי כפות. נניח וn זהו המספר השלם שאת רוצה לשקול, מייצגים אותו בבסיס טרינארי, מעבירים את זה לבסיס "שקילות" איפה שיש 1 בבסיס ה"שקילות" שמים משקולת של 3 בחזקת (המקום של הספרה 1) בצד הימני של המאזניים. ואת מה שרוצים לשקול יחד עם כל החזקות שהמקדם שלהם מינוס 1 בכף השמאלית. לדוגמא: עבור המספר 10 בעשרוני, נייצג אותו על ידי בסיס טרינארי : 21 נעבור לבסיס שקילות 101 שמים בצד ימין של המאזניים משקולות של 1 ק"ג,ושל 9ק"ג ובצד שמאל, את הסחורה שרוצים לשקול, ו0 ק"ג כפול 3.

 

[עריסטו]

יישום פשוט יותר של האלגוריתם

מחלקים את המשקל שרוצים לשקול ב-3 שוב ושוב עד שמתקבלת תוצאה קטנה מ-1/6. מתבוננים בחלקים שאחרי הנקודה העשרונית בתוצאות שהתקבלו. התוצאה הראשונה מתייחסת למשקולת 1; השנייה - למשקולת 3, וכן הלאה. אם התוצאה בין 1/6 ל - 1/2 - שמים את המשקולת המתאימה בצד שמאל; אם היא בין 1/2 ל - 5/6 - בצד ימין; אחרת לא משתמשים במשקולת. את העצם שרוצים לשקול שמים בצד ימין. דוגמה: רוצים לשקול 2006 ק"ג.

2006/3=686.67 => Right 686.67/3=222.89 => Not used 222.89/3=74.296 => Left 74.296/3=24.765 => Right 24.765/3=8.2551 => Left 8.2551/3=2.7517 => Right 2.7517/3=0.91724 => Not used 0.91724/3=0.30575 => Left 0.30575/3=0.10192 => We are done​

מסקנה: את המשקולת של 1 ק"ג שמים בצד ימין במשקולת של 3 ק"ג לא משתמשים את המשקולת של 9 ק"ג שמים בצד שמאל את המשקולת של 27 ק"ג שמים בצד ימין את המשקולת של 81 ק"ג שמים בצד שמאל את המשקולת של 243 ק"ג שמים בצד ימין במשקולת של 729 ק"ג לא משתמשים את המשקולת של 2187 ק"ג שמים בצד שמאל. ואכן:

9+81+2187-1-27-243=2006​

ולכן אם נשים את הדבר שאנחנו רוצים לשקול בצד ימין המאזניים יתאזנו כשמשקלו יהיה 2006 ק"ג.