שני סיפורים ושאלה

[iceviper]

שני סיפורים ושאלה

טעות נפוצה היא שאיינשטיין קיבל את פרס נובל על תורת היחסות.האמת היא שהוא קיבל אותו על סדרה של תגליות,בעיקר תורת הקוונטים. כאשר הוא הפיץ את מחקרו בנוגע לתורת הקוונטים היה מדען אחד שאינני זוכר את שמו שסתר מכל וכל את התיאוריה והכריז שהוא הולך להפריך אותה. ישב מדעננו היקר שבעה ימים ושבעה לילות,עשה מחקרים,בדק מדידות ולבסוף, תשוש ורעב,הגיע למסקנה ש...איינשטיין צדק! כאשר גילה זאת פירסם הודעת התנצלות,אבל בסוף הוסיף משפט,ופה העיקר,שהתיאוריה היא אמנם אמת,אבל היא נשמעת לו כל כך מגוחכת שאינו יכול לקבל אותה. השאלה שלי היא,האם ייתכן מצב שבו יש אמת שאני יודע שהיא כזו ולמרות זאת זכותי לא לקבל אותה? דוגמא נוספת: בספר בראשית מתרחש אירוע בו אברהם שולח את אליעזר משרתו כדי למצוא כלה ליצחק.כאשר אליעזר מגיע למולדתו של אברהם הוא מתפלל ל"אלוקי אדוני אברהם" ומבקש ממנו "ועשית חסד עם אדוני" שוב נשאלת השאלה: אם אליעזר מכיר בכך שאלוקים הוא אמת (הוא הרי מתפלל אליו),מדוע הוא לא מקבל אותו כאל שלו עצמו?

 

[aweksler]

תיקון קל ותשובה

בנוגע לסיפור הראשון, למיטב ידיעתי איינשטיין לא קיבל את פרס נובל על תורת הקוונטים, אלא על גילוי האפקט הפוטו-אלקטרי. תורת הקוונטים פותחה מאוחר יותר. בנוגע לשאלה: המדע לא מגלה אמת, אלא הוא מפתח תיאוריות. כלומר, המדען ממציא איזושהי תיאוריה יצירתית, ואז עושה ניסויים. ככל שיותר ניסויים פועלים בהתאם לתיאוריה, כך נאמר שהתאוריה מאוששת יותר. אי אפשר לומר על תיאוריה מדעית שהיא אמת. לכל היותר אפשר לומר עליה שהיא עדין לא הופרכה. שהיא מאוששת היטב. לכן בהנתן תיאוריות סותרות מאוששות היטב, אדם יכול לבחור להאמין בזו שנראית לו מוזרה פחות. לגבי אמת: כאשר משהו הוא אמת, אז אנו לא יכולים שלא לקבל אותו. למשל - אנו לא יכולים לסרב לקבל את העובדה ש 2+2 = 4, או את המשפט הלוגי האומר שכל דבר זהה לעצמו. באותו אופן, אגב, דיקארט אמר, שאנו לא יכולים לסרב לקבל את העובדה שאלוהים קיים. ובנוגע לעבד אברהם, אני יכול רק לנחש שבתקופה ההיא, התקופה הפאגאנית, לכל אדם או חברה מסויימת, היה האל שלה. לא היה אל אוניברסלי.

 

[Lolth]

ברור שאני יכולה לסרב לקבל...

...את העובדה ש2X2=4. אני אטען ש2X2=5 ולכן תוכיח שאני לא צודקת. אני אאמין בזה ואני אעשה כל החישובים לפי זה. אכן, יהיה לי מאוד קשה לחיות, אבל שום דבר לא יקח ממני זכות לקבל או לא לקבל את מה שאני רוצה.

 

[iceviper]

LLOTH TLU MALLA../images/Emo8.gif

 

[iceviper]

נתייחס לדוגמא שהבאת

מדע המתמטיקה הוכיח ש-2+2=4,וזו האמת.או שאולי זו תיאוריה שעדיין לא הופרכה? והרי להבנתי עצם קיומו של המדע הוא חקר האמת,ופיתוח תיאוריות לשם כך. בנוסף,האם אני יכול לבחור להאמין שנושא X הוא אמת רק משום שהוא הוכח מדעית,ובה בעת לא תהיה לי בעיה להאמין שנושא Y אף הוא אמת למרות שלא הוכח כך? ואם הם סותרים האחד את השני? מי קובע מה ברמה גבוהה יותר:האמונה או השכל? אשמח אם תרחיב בעניין הרעיון של דקארט.

 

[neko]

תיקון טעות קונספטואלית בסיסית:

המדע לא הוכיח ש4=2+2. המדע הגדיר את זה, ובכך הפך את זה לאקסיומה. המדע חייב להתחיל מהגדרה כלשהי אקסיומטית לפני שאפשר לבנות על פיה תזות נוספות ולהוכיח אותן. ניתן היה להגדיר ש5=2+2, אבל אז היה קשה להמשיך ולבנות על סמך התנהגות לא רציונלית של הפעולה "+". לכן פשוט נאלצו להגדיר אותה כפי שהגדירו, והגיעו לכך לאחר שהסיקו כי בהגדרה זו הפעולה שומרת על תכונות מסויימות לכל אורכה.

 

[seeyou]

אלגברה בוליאנית!../images/Emo188.gif

קיימים רק: "0" ו- "1"... 1+1 זה לא שווה 2....כפי שהוגדרה בשיטה הדצימלית!

 

[neko]

בדיוק לזה התכוונתי. תודה על הדוגמא

המעולה. הוגדר שעבור השיטה העשרונית, 4=2+2, ואילו בשיטה הבינארית, מה הערך של הביטוי 2+2? הביטוי אינו מוגדר, בדיוק כפי שחילוק באפס אינו מוגדר, וכמו שאין לוגריתם למספר שלילי. טעות גדולה שנובעת מדרך הלימוד עד התיכון (ובד"כ כולל) היא להתייחס לדברים (ובייחוד למתמטיקה) כאמיתות אדירות ובלתי מסוייגות. הם לא, הכל תוצר של הגדרות. הפעולה חילוק הומצא והוגדרה אך ורק על מספרים השונים מאפס. פשוט ככה הוגדר, ע"מ לשמור על חוקיות מסויימת. זה לא אומר שעצם מרקם היקום אמור להתמוסס כי "קיים תרגיל שאי אפשר לפתור".

 

[Alcharzor]

2+2=2(100) מוגדר ../images/Emo8.gif

 

[neko]

לא הבנת את כוונתי.

כשאתה מחשב בבינארית, הספרות הקיימות הן 0 ו1. הספרה 2 לא קיימת. מכאן שאין משמעות לביטוי 2+2 בחישוב בינארי, בדיוק כפי שאין משמעות לביטוי B+B בהקסה, או לביטוי

+

בשום צורת חישוב שאני מכיר (אולי נגדיר לנו מעכשיו ש

=

+

?) ד"א, זהו משחק מאד אהוב במבחנים פסיכוטכניים (וגם פסיכומטרי) ומבחני IQ - נותנים לך פעולה מאולתרת (עם תכונות מוזרות), ונותנים לך לבצע באמצעותה פעולות חשבון בסיסיות.

 

[Alcharzor]

אל תזכיר לי את פסיכומטרי../images/Emo5.gif ....:

 

[neko]

../images/Emo6.gif

 

[Alcharzor]

אלגברה בוליאנית לא המציא שום

גלגל אין שום דבר שונה בשיתת חישוב בינארית משיתת חישוב דצימלית זאת פשוט צורת רישום שונה. שיתת חישוב בינארית אומרת גם ש 1+1=2 פשות רושמת את זה כך 1+1=10 אבל בכל זאת 2 נשאר 2 עם רוצים באמת להביא דוגמה לאיך שאקסימה משנה את המדע אפשר לקחת את גאומתריה אאוקלידית וגאומתריה רב מימדית:כאשר בגאומתריה אאוקלידית שני ישרים מקבילים לעולם לא נפגשים וזאת אקסיומה ברב מימדית הם יכולים להיפגש וזה משנה את כל ההבט על הדברים

 

[aweksler]

2+2=4 זו אמת הכרחית

המדע לא הוכיח ש 2+2=4, והוא גם לא הגדיר ש2+2=4. המדע רק נתן לרעיון האמיתי "2+2=4" סימון. מדוע 2+2=4 זו אמת הכרחית? משום שאם אתה מבין מה המשמעות של הסימן ´2´, ומה המשמעות של "+" ומה המשמעות של ´=´, ושל ´4´, אתה לא מסוגל לדמיין, וזה לא משנה כמה תתאמץ, ש2+2 לא שווה 4. דרך נחמדה לראות זאת היא לדמיין 2 תפוחים, ולהוסיף להם עוד שני תפוחים, ואז לספור את כולם ביחד. אם אתה יודע לספור, אתה תגיע ל-4. 2+2=5 זו סתירה במושג. זה כמו להגיד "ילד מבוגר" או "רווק נשוי". לא משנה כמה תתאמץ, לא תוכל לדמיין רווק נשוי. זאת משום שיש קשר הכרחי בין המילה ´רווק´ למילה ´נשוי´. לכן אין לך ברירה, אתה מוכרח לקבל את המשפט "כל הרווקים אינם נשואים" כאמת מוחלטת בלתי ניתנת לערעור. ( היום, דרך אגב, נשמעים קולות בפילוסופיה נגד הקביעה לעיל. קולות הטוענים שהמשמעות של מלים (למשל ´רווק´) היא משמעות שהוענקה להם ע"י החברה. ולכן אין כאן באמת הכרח)

 

[Henryf]

האם זו אמת הכרחית תמיד?

כבר ראינו "אמיתות הכרחיות" שמנפצות ומפתחות מתמטיקה שונה. גם העובדה שקווים מקבילים לא ניפגשים הייתה פעם "אמת הכרחית", עד שנוצרה הגיאומטריה הלא אוקלידית. האם ל- 2+2=4 יש אותו עתיד?

 

[aweksler]

כל עוד לא שינית את משמעות הסימנים

לדעתי, כל עוד המשמעות של הסימנים: 2,+,=,4 נשארים אותו הדבר אז זו אמת הכרחית. אבל אם אתה משנה את משמעות הסימן ´+´ ואומר שמשמעותו חיסור, אז זו לא אמת הכרחית. כך גם לגבי הקוים המקבילים: כל עוד אתה מדבר על מישור אז קוים מקבילים אכן אף פעם לא נפגשים. אם אתה משנה את הסיפור ומדבר מישור כדורי, אז הם כן יפגשו. אגב, יש פילוסופים האומרים כי האמיתות המתמטיות אינן אמיתיות באמת, אלא משרתות אינטרסים פרטיים של מישהו או של החברה כולה. מישל פוקו למשל אומר ש"האמת" היא קונסטרוקט חברתי. האמת היא מה שהחזק בחברה מאמין. הפילוסוף קווין חושב שאנו כן נשנה את 2+2=4, אם נתקל באיזו התנסות חושית מטורפת במיוחד שתערער את כל הנחותנו. הוא אפילו אומר שבפועל יש היום אנשים אשר רוצים להוסיף ערך אמת שלישי (חוץ מ"אמת" ו-"שקר") כדי להתמודד עם מכניקת הקוונטים. עד כדי כך.

 

[Henryf]

המשמעות של הסימנים

1001 + 1 = 1002 האם הגדרת את משמעות הסימן 1001, ו 1002. אם כך יש להגדיר את כל המספרים. הגישה צריכה להיות שונה לחלוטין. יש להגדיר 1+1 = 2 יש להוכיח שלב אחד, כללי, באיטרציה, ורק אז בעזרת אינדוקציה אפשר לדבר על נכונות כללית של ה + במספרים.

 

[Deathatred]

אנשים אכן ישבו

וטרחו להגדיר את כל המספרים הטבעיים באינדוקציה כאשר 1001 זה רק הסימון של המספר. מספר טבעי, לפחות בחלקו - בתור מספר מונה (ולא סודר) מוגדר כתכונה המשותפת (עוצמה) לכל הקבוצות שכמות איבריהן שווה - כלומר: אפשר לבצע התאמה חח"ע בין כל איבר משתי הקבוצות ולא ישאר באף קבוצה איבר בודד. 0 הוגדר להיות העוצמה של הקבוצה הריקה, 1 הוגדר להיות העוצמה של הקבוצה שכוללת רק את הקבוצה הריקה {O} או {0} (כאן זה אפס). 2 הוגדר להיות העוצמה של הקבוצה {0,1} וכן הלאה באינדוקציה. מה שהבאתי כאן לא מדויק כי צריך לנסח פורמליזם שימנע את פרדוקס ראסל אבל ההגדרות הנ"ל והגדרת החיבור של עוצמות הוגדרו כפי שהן הוגדרו בגלל שהן מתיישבות עם המשמעות האינטואיטיבית של החיבור ונהיות מאוד שימושיות. ושוב, יש להפריד בין תורה מתמטית - שהיא אוסף של אקסיומות, לבין התאמתה למציאות. שדה מודולו P כמה שלא מתאים למציאות הוא נכון ואמיתי ודוגמת הגיאומטריות השונות (אוקלידס, רימן וכו) מדגימה את הנושא בצורה ממש טובה.

 

[Henryf]

מסתדר יותר טוב,

כן, שימוש בתורת הקבוצות ועוצמתן בהחלט נותן לתורת המספרים מובן פחות תאורטי.

 

[neko]

אני מבין למה אתה מתכוון, אבל אם

תשקיע מחשבה בנושא (מה לעשות, אני לא רהוט כמו הסגל הוראה שלי), אולי תוכל להבין למה אני מתכוון. הממתמטיקה הגדירה את המשמעות של "2", של "4" ואת המשמעות של "+". מאותו רגע אכן סגור וחתום ש4=2+2 לפי ההגדרות הנ"ל. גם המילה "ילד" והמילה "מבוגר" הן שתי הגדרות, שלפחות לפי ההגדרה שאני מציב להן מתארות מצבים הפוכים. ההגדרה של "ילד" יכולה להיות "אדם שאינו מבוגר". באותה מידה, ההגדרה של "מבוגר" יכולה להיות "אדם שאינו ילד". הכל תלוי מאיפה מתחילים את ההגדרה. מכיוון שהמדע עדיין לא היה קיים כאשר נטמעו הביטויים הנ"ל, נוצרות סתירות בין גישות. דוגמא: הרבה אנשים יקבלו את הטענה שלי שניתן להגדיר "ילד" כ"אדם מתחת לגיל 13", ומבוגר כ"אדם מעל גיל 18", ואז אדם יכול להיות גם לא ילד, וגם לא מבוגר. לעומת זאת, ניתן להגדיר "מבוגר" כ"אדם מעל גיל 18", ו"ילד" כ"אדם אשר טרם הגיע לבגרות מינית", ואז דווקא כן יתכן "ילד מבוגר" (אדם שבגרותו המינית לא קרתה עקב סיבות רפואיות, ולא חסרים מקרים). הכל תלוי הגדרה. בחזרה לנושא המתמטי, אל תשכח שכל העולם המושגי שלנו בנוי על מספר הנחות יסוד (שאובחנו כאקסיומות מחוסר ברירה), ועל עובדות שנובעות מאותן אקסיומות. ברגע שהגדרתי את פעולתם של + ו -, אני יכול להגדיר שכפל מייצג כמות מסויימת של +ים, ושחזקה מייצג כמות מסויימת של כפילות, ושקוסינוס מייצג קירוב של חיבור מסויים (אכן קיימת נוסחא כזאת), ובעצם כל הגדרה אחרת שאני רוצה. ההגדרות נעשו כפי שנעשו, מכיוון שהן מקיימות תכונות "נחמדות" כמו שהמרצה שלי היה אומר. ניתן להגדיר פעולות אחרות, ודבר שכזה ידוע במתמטיקה בסיסית כ"פונקציה". כל פעולה שקיימת במתמטיקה ניתן להגדיר כאוסף של פעולות חיבור וחיסור, שהן למעשה הפעולות הטבעיות המקוריות שבני האדם נתקלו בצורך להמציאן.