שורש n - לא רציונלי

[עריסטו]

שורש n - לא רציונלי

הוכיחו: אם n הוא מספר טבעי שאינו ריבוע של מספר שלם, אזי השורש הריבועי של n אינו רציונלי. יש להוכיח בלי להסתמך על תכונות של פירוק מספר לגורמים.

 

[יוסף שמח]

תשובה?

כי הפונקציה שורש לא לינארית?

 

[עריסטו]

לא הבנתי מה הקשר...

 

[LeCagot]

תשובה

נניח בשלילה כי שורש n רציונלי, אז קיימים שני מספרים טבעיים s,t עבורם שורש n הוא s/t ו - 1=(s,t). נעלה בריבוע שני הצדדים, נכפיל ב- t^2 ונקבל כי s^2 = t^2*n . אבל 1= (s,t) ולכן s^2 מחלק את n, וזו סתירה => שורש n לא רציונלי

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif

הדרישה היתה להוכיח בלי להתבסס על תכונות של פירוק מספר לגורמים. בהוכחה שלך כתוב "אבל 1= (s,t) ולכן s^2 מחלק את n". זה מתבסס על כך של-n יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים.

 

[LeCagot]

לא ברור לי בדיוק למה אתה אומר שזה

מתבסס על פירוק לגורמים ראשוניים. אם s^2 = n*t^2, וגם s לא מחלק את t, אז s^2 לא מחלק את t^2, ולכן s^2 בהכרח מחלק את n. איפה נכנס פה פירוק לגורמים ראשוניים? אם לא הבהרתי קודם, אז s/t הוא שבר מצומצם, כלומר אין להם מחלקים משותפים (שוב - ללא שימוש בתכונת פירוק יחיד).

 

[עריסטו]

כתבת טענה כזו:

1. אם a מחלק את bc ו - a זר ל - b אזי a מחלק את c. זה שקול לטענה מס' 2: 2. לכל מספר טבעי יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים. זה שקול כי: מטענה 2 נובעת טענה 1 (זה ברור) וגם מטענה 1 נובעת טענה 2, שהרי אם היה מספר טבעי בעל שני פירוקים שונים לגורמים ראשוניים טענה 1 לא היתה נכונה. לכן אמנם לא כתבת בפירוש בהוכחתך שהי מתבססת על כך שלכל מספר יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים, אך התבססת על טענה שקולה לזה. אני מתכוון שצריך למצוא הוכחה שאינה מסתמכת על תכונת הפירוק היחיד או על תכונה שקולה לה.

 

[עריסטו]

שהי = שהיא

 

[1אברהם]

לא הבנתי את ההוכחה

איפה השתמשתה בהוכחה בנתון ששרש n אינו מספר שלם.

 

[juliuslove]

אולי תחילה של פיתרון

צריך להוכיח ששורש של n לא ניתן לכתוב כמנה של שני מספרים...(כמו בתמונה) ועך שאר הפתרון אני עדיין עובדת...