שאלה

[53925392]

שאלה

נמלה הולכת על גומי שאורכו 100 מטרים בקצב של מטר לדקה כל פעם שהיא עוברת מטר מותחים את הגומי בעוד מאה מטר כך שמיקומה של הנמלה משתנה. האם הנמלה תגיע אי פעם לסוף הגומי? אם כן, מתי? והגומי לא נקרע.....

 

[עריסטו]

פתרון + חידות המשך

בדקה ה - n - ית הנמלה עוברת 1/100n מאורך הגומי, כך שהיא תגיע לסופו כאשר n, מספר הדקות שעברו, יקיים

1/100+1/200+1/300+...+1/100n>1 <=> 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n>100​

לכל x חיובי, ה - n המינימלי המקיים

1+1/2+1/3+1/4+...+1/n>x​

הוא השלם הקרוב ביותר ל -

exp(x-gamma)​

או אחד פחות מזה, כאשר gamma הוא קבוע אוילר. במקרה שלנו x=100. נציב בנוסחה ונקבל

n=1.5*10^43 min = 2.9*10^37 years​

שזה הרבה זמן... חידת המשך א': מה הפתרון במקרה הרציף - הנמלה נעה במהירות מטר לדקה ובו זמנית מותחים את הגומי במהירות 100 מ' לדקה? חידת המשך ב': מה הפתרון במקרה הבדיד (החידה המקורית) אם הנמלה הולכת רק בדקות שמספרן ראשוני? כלומר בדקה השניה, השלישית, החמישית וכדומה היא מתקדמת מטר, בדקות האחרות היא נשארת במקומה, ובכל מקרה בסוף כל דקה מותחים את הגומי במאה מטר?

 

[עריסטו]

שכחתי להפעיל את הקישור, הנה:

קבוע אוילר - http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html