שאלה מספרית

[PaKSoL]

שאלה מספרית

זאת פחות חידה ויותר שאלה מתמטית אני צריך נוסחא מסויימת ולא הצלחתי למצוא אותה. אז ככה, הנה השאלה (יש לה 2 סעיפים): א. יש לי 2 חברי תזמורת ו6 מושבים. בכמה אופציות אני יכול להושיב אותם על הכסאות? ב. המנצח מגיע והוא יכול לבחור מושב אחד מתוך 5 מושבים נתונים (לא אותם מושבים של חברי התזמורת) אבל על כל אופציה שלהם הוא יושב במושב אחר או באותו מושב). תסתכלו בתרשים ותוכלו לראות למה התכוונתי. על כל אופציה של חברי התזמורת, המנצח יכול לשבת בכל אחד ממושבים 1-5 אבל הוא יכול לעשות את זה 1-5 פעמים... זאת אומרת שכמות האופציות עולה! מה הנוסחא שבה אני צריך להשתמש? השאלה הבאה היא: להגדיל את מספר חברי התזמורת ל4 והמקומות ל17, ואת המקומות למנצח ל-9 אבל אז יצא לי מספר אחר שלא תלוי בנוסחא שעליה חשבתי... ולבסוף השאלה האחרונה היא - 6 חברי תזמורת 34 מושבים, ו10 מושבים למנצח אחד. מה הפתרון פה? אודה לתשובה ברורה ומהירה!

 

[טלמון סילבר]

הנושא - מבוא לקומבינטוריקה - כמובן

מוכר לרבים מאתנו, ואין לנו בעייה להסביר. אבל... לא ניסחת את שאלתך בבירור. נתחיל מהקטע הפשוט: כמה אפשרויות יש להושיב שני אנשים בשניים מתוך 6 מושבים נתונים? יכולים להיות לכך שני פירושים: או: לפי ה"פשט" המובן משאלתך, ואז החישוב די פשוט: את הראשון אפשר להושיב בכל אחד מששת המושבים, את השני בכל אחד מחמשת המושבים האחרים (בכל אחת משש אפשרויות הבחירה של הראשון!), סה"כ אפשרויות: 6 כפול 5, שווה 30. או: מהי כמות האפשרויות לבחירת שני מושבים מתוך ששת המושבים, כשלא אכפת לנו איך שני הנגנים יתישבו בשני המקומות הנבחרים? זה נקרא "מספר הצירופים מתוך 6 מעל 2". לאפשרות הראשונה אינני זוכר איך קוראים בעברית. נעבור למקרה כללי יותר - 6 נגנים ו-34 מושבים אפשריים. נלך על הפירוש הראשון של שאלתך. כלומר, אם כבר נבחרו 6 מקומות עבור ששת הנגנים, אז חילופי המקומות ביניהם על אותם ששת המושבים - נחשבים לאפשרויות שונות (לפי הפירוש השני - חילופי המקומות ביניהם על אותם המושבים אינם נחשבים לאפשרויות שונות). ובכן, יש 34 אפשרויות בחירה עבור הנגן הראשון. על כל אפשרות כזאת, יש 33 אפשרויות בחירת מושב עבור הנגן השני. סה"כ אפשרויות לבחירת המושבים לשני הנגנים הראשונים: 34 כפול 33. על כל אחת מאפשרויות אלו יש 32 אפשרויות לבחירת המקום עבור הנגן השלישי. כלומר, סה"כ אפשרויות לבחירת שלושה מושבים עבור שלושת הנגנים הראשונים: 34 כפול 33 כפול 32. כנ"ל, סה"כ אפשרויות לבחירת ארבעה מושבים עבור ארבעה נגנים: 34 * 33 * 32 * 31; סה"כ אפשרויות לבחירת 5 מושבים עבור 5 נגנים: 34 * 33 * 32 * 31 * 30; עבור כל השישה: 34 * 33 * 32 * 31 * 30 * 29. הנוסחה הכללית היא כזאת: מכפילים מספרים עוקבים יורדים, החל מכמות המושבים, סה"כ - כמות הכופלים ככמות הנגנים, במקרה שלנו - מכפילים סה"כ 6 מספרים עוקבים יורדים. הנוסחה לחישוב ערך הכופל האחרון היא: מספר המושבים, פחות מספר הנגנים, ועוד 1. אם מספר המושבים שווה למספר הנגנים, אזי הכופל האחרון שווה 1, כלומר, מכפילים פשוט את כל המספרים השלמים מ-1 עד מספר הנגנים. אם מספר הנגנים שווה n, אז מספר האפשרויות להושיב אותם ב-n מושבים שווה למכפלת כל המספרים השלמים מ-1 עד n. למכפלה כזאת קוראים "n עֲצֶרֶת", ומסמנים עם סימן קריאה: !n

1! = 1 2! = 1 * 2 = 2 3! = 1 * 2 * 3 = 6 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 (n + 1)! = n! * (n + 1) 6! = 5! * 6 = 120 * 6 = 720 .'וכו​

במקרה הכללי של n נגנים על m מושבים, מספר האפשרויות (לפי הפירוש הראשון!) הוא:

n * (n - 1) * (n - 2) * . . . * (n - (m-1))​

סה"כ m כופלים. יש נוסחה נוספת להבעת כמות האפשרויות הללו, נוחה יותר לכתיבה ול...חישובים תאורטיים, אם כי פחות נוחה לחישוב מעשי של מספר האפשרויות:

n! / (n - m)! :למשל n = 34 m = 6 :כמות האפשרויות 34! / (34-6)! = = 34! / 28! = = (1 * 2 * 3 * . . . * 34) / (1 * 2 * 3 * . . . * 28) = :ואחרי הצמצום = 29 * 30 * 31 * 32 * 33 * 34​

בנוגע למנצח, אז אם הבנתי נכון את מה שכתבת, אפשרויות מיקומו אינן תלויות באפשרויות מיקום הנגנים, ולכן הפתרון פשוט מאוד: צריך להכפיל את מספר האפשרויות למיקום הנגנים בכמות האפשרויות למיקום המנצח.

 

[PaKSoL]

אוקיי... רגע אחד!!!

קודם כל תודה רבה על התשובה המפורטת....... לגבי העצרת הבנתי. אבל יש בעיה אחת- אני לא רוצה את מספר המקומות המתחלפים. זאת אומרת- אם התיישבו נגני הכינור, צ'לו, קונטרבס, חליל,תף מרים ושליש במקומות 1 2 3 4 5 ו-6 בהתאמה, אז לא מעניין אותי שאח"כ הם התחלפו ביניהם (!6) פעמים... מספיק לי פעם אחת של התיישבות. הבנת את הכוונה? מה דרך החישוב אז? וחוץ מזה... עוד שאלה אחת, כדי להכניס קצת יותר קושי לשאלה- אני לא רוצה שהם יישבו במקומות רצופים. זאת אומרת, שהם לא יישבו במקומות 1-6 או 2-7 או 29-34 לצורך העניין. מבחינתי שיישבו במקומות 1-5 ועוד אחד במקום 7. אבל שלא יהיה רצף. איך אני מחשב את זה? תודה רבה!!

 

[Tesseract]

הנוסחה

מספר האפשרויות עבור חברי התזמורת הוא המקדם הבינומי של מספר המושבים מעל (C) מספר חברי התזמורת (אם אני לא טועה, מחשבים את העצרת מספר המושבים, ומחלקים ב-(העצרת של מספר חברי התזמורת כפול העצרת של הפרש מספר המושבים ומספר חברי התזמורת)). את המספר הזה, תכפיל במספר המקומות למנצח, וכך תקבל את סך האפשרויות.