ריבוע של צפרדעים

[77עקרב]

ריבוע של צפרדעים

במכון סודי במרכז הארץ, חינכו צפרדעים שיקפצו רק מעל צפרדע אחרת תוך שמירה על המרחק מהצפרדע מעליה קפצו - כלומר אם צפרדע א היתה מטר מימין לצפרדע ב, לאחר שא תקפוץ היא תהיה מטר משמאל לצפרדע ב. לקחו 4 צפרדעים וסידרו אותן על פינותיה של בלטה. האם יכול להיות שאחרי מספר קפיצות כלשהו יסתדרו הצפרדעים על קודקודיו של ריבוע בעל צלע באורך של שתי בלטות?

 

[srulikbd]

בלטה-ריבוע או מלבן או לא משנה../images/Emo35.gif

 

[77עקרב]

לא אמור לשנות

כל זמן שיש יחידת אורך קבועה ויחידת רוחב קבועה

 

[עעעערררר]

לא

בס"ד תציב אותן על מערכת צירים. (0,0)(0,1)(1,0)(1,1) קל לראות, שהזוגיות לא משתנה. לכן, אי אפשר להגיע למצב בו כל ה-x זוגי או כל ה-x אי-זוגי. (מצטער אם הניסוח לא ברור)

 

[77עקרב]

הניסוח באמת לא ברור

אבל גם סביר להניח שלא מדוייק מספיק לא ניתן גם להגיע למצב בו הם יהיו על ריבוע שאורכו ורוחבו 3 יחידות, או כל מספר אחר.

 

[עעעערררר]

את זה לא הוכחתי

בס"ד אני אנסה להסביר: נעבוד רק עם שיעורי ה-x. ברור שהם יישארו שלמים. אם צפרדע שנמצאת ב-a, תקפוץ מעל צפרדע שנמצאת ב-b, היא תגיע ל-(2b-a) המרחק שהיא עברה היא 2(b-a), שהוא זוגי. לכן, אם היא הייתה במקו זוגי, היא תישאר במקום זוגי, ואם היא לא הייתה במקום זוגי, היא לא תגיע למקום זוגי. בהתחלה, שתי צפרדעים נמצאות במקום זוגי, ושתים לא. לכן, זה תמיד יישאר כך. אם הצפרדעים בריבוע שצלעו 2, או שכולן במקום זוגי, או שאף לא אחת במקום זוגי. לכן, זה לא אפשרי. עכשיו זה מספיק ברור?

 

[עעעערררר]

גם למספרים יותר גדולים

בס"ד אם נתחיל מהסוף: נשים אותן בנקודות (0,0),(0,3),(3,0),(3,3) קל לראות, שכל השיעורים יישארו מתחלקים ב-3. לכן, אי אפשר להגיע לריבוע יחידה. מכיוון שכל מהלך הוא הפיך, גם אי אפשר להגיע מריבוע יחידה לריבוע 3. מש"ל.

 

[77עקרב]

../images/Emo127.gif