עזרה בפתרון חידה

[majei]

עזרה בפתרון חידה

החידה היא האם אפשר להעביר קו ישר ולחתוך את כל הצלעות של מחומש (אם הקו פוגע בקודקוד זה לא נחשב לשני חיתוכי צלעות). ניתן להרחיב את החידה ולשאול באיזה מצולעים אפשר להעביר קו ישר אחד ולחתוך את כל צלעותיהם ובאילו לא (במקרה הכללי). אני יודע את התשובה לחידה אבל אני לא מצליח למצוא הוכחה מתימטית או אחרת. אשמח לשמוע הצעות

 

[טלמון סילבר]

האם השאלה היא,

אם אפשר למצוא כזה מחומש שאפשר לחתוך את כל צלעותיו בישר אחד?

 

[majei]

כן זאת השאלה

ואם זה לא ברור מההודעה הקודמת אז המחומש והמצולעים הינן סגורים.

 

[טלמון סילבר]

אם כך, אז הנה הפתרון הכללי.

הישר הוא, כמו שאומרים, גם באפריקה ישר. אז נתחיל לרקוד ממנו (מהישר). נצייר אותו, למשל, אופקי. לפי הדרישה, כל אחד מהקודקודים של המצולע אמור להיות או מתחת לישר, או מעליו. הקצוות של כל צלע חייבים להיות מהצדדים השונים של הישר. ניקח את אחת הצלעות. נתחיל מהקצה שלה הנמצא מעל הישר, נמשיך אל הקצה השני שלה הנמצא מתחת לישר (ובאופן זה חצינו את הישר!), ונמשיך הלאה באותו כיוון לאורך כל צלעות המצולע, עד שנחזור אל הקודקוד שממנו התחלנו. ונספור כל הדרך: מעל, מתחת, מעל, מתחת, מעל, מתחת, . . . (כי כל פעם חייבים לחצות את הישר). אז ברור שיהיה אפשר בדרל זו לסגור את המצולע - להגיע אל קודקוד ההתחלה הנמצא מעל לישר - רק אם יש במצולע מספר זוגי של צלעות!

 

[טלמון סילבר]

הערה

כפי שראינו, עבור מצולע בעל מספר אי-זוגי של צלעות, המשימה בלתי אפשרית. לעומת זאת, עבור כל מספר זוגי של צלעות ניתן לבנות מצולע בעל מספר זה של צלעות, שכולן נחצות ע"י ישר - למשל כמו בציור המצורף - מצולע בעל 20 צלעות (המצולע אמנם אינו קמור, כמובן, אך הוא גם אינו חותך את עצמו).