סכום עוקבים

[clocker]

סכום עוקבים

מצא מספר בין 20 ל 60 שאינו סכום של מספרים עוקבים כלשהם. למשל 15 = 4 + 5 + 6.

 

[Gaius Octavius]

../images/Emo62.gif

כל מספר שאינו מתחלק ב-3. הסבר: יש לנו את המספרים העוקבים, x, y, z. אפשר בעצם לכתוב אותם בתור x+x+1+x+2, כלומר בעצם 3x+3. כל מספר שתציב בצד השני של המשוואה, באם הוא מתחלק ב3, תוכל למצוא איתו את X, ולכן אתה צריך מספר שלא יתחלק ב3. מש"ל. [ובקשר לשאלה עצמה - אני פשוט אזרוק את המספר הראשון שלא מתחלק ב3 - 22.]

 

[פרסטטוניק ווגון יילט]

ואם זה כולל את

20 אז 20.

 

[JDOE]

פתרון

32 אני אשאיר לכם את ההסבר למי שאמר 20 - 2+3+4+5+6 למי שאמר שכל מספר שלא מתחלק ב 3 עד 22 23 = 11+12 29 = 14+15 31 = 15+16 וכן הלאה

 

[Gaius Octavius]

אהה...

חשבתי שרק של שלושה מספרים עוקבים. גאדמט.

 

[עריסטו]

תשובה

אם x הוא סכום של עוקבים:

x = k+(k+1)+...+(k+n)​

אזי

2x=[k+(k+n)](n+1)=(2k+n)(n+1)​

רואים של - 2x (וממילא גם ל - x) יש מחלק אי-זוגי גדול מ - 1: אם n זוגי אזי n+1 אי זוגי, ואם n אי-זוגי אזי 2k+n אי-זוגי. גם ההיפך נכון: אם ל - x יש מחלק אי-זוגי גדול מ - 1 אזי x הוא סכום של עוקבים, כי אם המחלק הוא s ניתן לכתוב s מספרים עוקבים שהמרכזי ביניהם הוא x/s, ואז סכומם הוא x. לא מפריע אם לא כל המספרים המתקבלים חיוביים, כי ניתן למחוק מראש הרשימה את המספרים a- עד a. מכל הנ"ל קיבלנו: x הוא סכום של שני טבעיים עוקבים או יותר אם"ם אין ל - x מחלק אי-זוגי גדול מ-1, כלומר x הוא חזקה של 2. לכן הפתרון היחיד הוא 32.

 

[clocker]

לא יכלתי לנסח טוב יותר ../images/Emo127.gif