סידרה עם שורשים

[עריסטו]

סידרה עם שורשים

הוכיחו: כל איברי הסידרה האינסופית הזו

קטנים מ-3.

 

[Renatius Cartesius]

אני חושב שפתרתי.

ע"י אינדוקציה על האיבר הכללי של הסידרה: zzz a_n=2^1/2 * 3^1/4 * 4^1/6 *... * (n+1)^1/2n

 

[יאיר של תמר]

האם זה לא...

(zzz a_n=2^1/2 * 3^1/4 * 4^1/8 *... * (n+1)^1/(2^n בקיצור החזקות יורדות בטור הנדסי...

 

[Renatius Cartesius]

כן.. כן... צודק!

למה רשמתי 6???????????????????????

 

[יאיר של תמר]

מצד שני...

אם באמת הצלחת - הוכחת משהו חזק יותר... אבל לא נראה לי שזה נכון...

(תחושה בלבד)

 

[עריסטו]

נא לפרט...

מה ההוכחה שלך?

 

[טלמון סילבר]

"ראשי פרקים" של פתרון

לוגריתם של הדבר הזה הוא "כמעט" סדרה הנדסית. אז "נהפוך אותו" לכזה. מכיוון שהפונקציה (ln(x+1)/ln(x מונוטונית יורדת,

ln(2)/2 + ln(3)/4 + ln(4)/8 + ln(5)/16 + . . . < ln(2)/2 + [ln(3)/4] * [ 1 + ln(4)/2ln(3) + (ln(4)/2ln(3))² + . . . ] = = ln(2)/2 + [ln(3)/4] / [ 1 - ln(4)/2ln(3)]​

אפשר להראות שהדבר הזה קטן מ- (ln(3. זה קצת ארוך, אבל אפשרי (מבלי להיעזר במחַשבים למיניהם).