מתמטיקה

[milloarnon]

מתמטיקה ../images/Emo35.gif

מה המרחק הממוצע בין 2 נקודות אקראיות על פני ריבוע יחידה ? (ריבוע יחידה הוא ריבוע בגודל 1X1) פתרתי את זה בצורה ישירה אחרי מספר חישובים. אני תוהה אם יש דרך לראות ישר מה התשובה צריכה להיות.

 

[clocker]

נסיון

אני לא ממש בטוח בתשובה שלי - יצא לי רבע, זה נכון ?

 

[milloarnon]

ובכן, לי יצא משהו אחר

הרי ברור שהמרחק הממוצע בין 2 נק' על צלעות הריבוע יהיה גדול מהמרחק הממוצע בין 2 נקודות בתוך הריבוע שהוא 0.5

 

[1אברהם]

המרחק הממוצע

בין 2 נקודות על קטע באורך 1 שנבחרו אקראית בפילוג אחיד הוא 1/3 ולא 1/2

 

[srulikbd]

איך אפשר לחשב את זה../images/Emo35.gif ../images/Emo2.gif

ומה זה פילוג אחיד

 

[1אברהם]

פילוג אחיד

זה אומר שההסתברות לבחור נקודה בין 2 נקודות x1 x2 פורפוציונלית לאורך הקטע |x1-x2| . פונקצית הצפיפות במקרה זה היא f(x)=a אם x בתחום 0 עד a , ו a זה אורך בקטע. התוחלת של |x1-x2| במקרה של פילוג אחיד היא:

∫∫|x-y|dxdy​

האינטגרל הכפול הוא על x, y בתחום 0 עד a והתוצאה היא a/3

 

[טלמון סילבר]

אם כך, הפתרון לתרגיל הוא

∫ ∫ ∫ ∫sqrt[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²] dx1 dx2 dy1 dy2​

אך החישוב שלו מסובך.

 

[eug]

../images/Emo129.gif

http://mathproblems.info/prob53s.htm

 

[תה צמחים]

אולי

שורש חצי?

 

[עריסטו]

פתרון (ללא הוכחה) נמצא כאן

http://mathworld.wolfram.com/SquareLinePicking.html

 

[milloarnon]

הממ

אכן יצא לי ~0.52 אבל האם אפשר לראות את זה מייד בלי לחשב ? אני לא רואה דרך פשוטה לפתור.