משולשים דומים

[טלמון סילבר]

משולשים דומים

מובן מאליו, שבצורות גאומטריות דומות, "הכל" דומה! עם זאת, ברמה של תיכון אי-אפשר, מן הסתם, להסתמך על "אמת פילוסופית" זו בבואנו להוכיח משהו. לכן, יש מן הסתם טעם בתרגיל המתמטי (הפשוט למדי) הבא: נתונים שני משולשים דומים: משולש ABC ומשולש 'A'B'C. צלעותיו של המשולש הראשון שוות: a,b,c וצלעותיו של המשולש השני שוות: 'a',b',c נתון שהזוויות:

A = A' B = B' C = C'​

ושהיחס בין הצלעות:

a/a' = b/b' = c/c'​

כלומר המשולשים דומים (וכידוע ממשפטי דמיון משולשים, די במספר מצומצם של שוויונים מתוך רשימה זו, והשאר נובעים מהם. למשל, די בשוויון שתי זוויות). הוכיחו, שבאותו היחס, כמו הצלעות של שני המשולשים הדומים, נמצאים בהתאם גם: גבהי המשולשים, התיכונים, קוי-האמצעים, חוצי-הזוויות, רדיוסי המעגלים החסומים, רדיוסי המעגלים החוסמים.

 

[אמא יודעת הכל]

לכל קטע מיוחד כזה במשולש

שמחלק את המשולש למשולשים אחרים ושבהם משתתפות למשל שתי צלעות וזוית כלואה ביניהן של המשולשים שידוע כבר שהם דומים - דומים בינם לבין עצמם באמצעות משפטי דמיון.

 

[טלמון סילבר]

זו הדרך, כמובן.

רציתי להתייחס במיוחד לרדיוסים של המעגלים החסומים והחוסמים בשני המשולשים הדומים. על היחסים ביניהם מושתתת כל ההוכחה של החידה שהיצגתי לא מזמן (עם שרטוט!) להוכיח שבכל משולש אורך רדיוס המעגל החסום קטן או שווה למחצית אורך המעגל החוסם.

 

[אמא יודעת הכל]

אפשר לקחת את משפט הסינוסים

היחסים בין הצלעות לסינוסי הזויות שממול שוים ל-2R. אם ניקח משואה כזאת של משולש אחד ונחלק אותה למשואה כזו של משולש דומה לו, לרדיוסי המעגלים החוסמים לא תהיה ברירה אלא להיות דומים.

 

[טלמון סילבר]

נכון.

אפשר גם בלי סינוסים, על "טהרת הגאומטריה", כפי שכתבת קודם, בעזרת משולשים שונים.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo35.gif חידת המשך

נתון משולש ABC. רדיוס המעגל החוסם אותו שווה R. תהי הנקודה 'A - מרכז הצלע BC הנקודה 'B - מרכז הצלע CA הנקודה 'C - מרכז הצלע AB למה שווה רדיוס המעגל החוסם את המשולש 'A'B'C ?

 

[אמא יודעת הכל]

../images/Emo62.gif

לרדיוס המעגל החסום במשולש המקורי.

 

[טלמון סילבר]

במקרה הכללי זה לא נכון

 

[אמא יודעת הכל]

אכן

 

[lupoN]

אולי...

הספקתי לשרטט ואין לי זמן להסבר מלא אבל נראה לי שבאופן כללי המשולשים ABC ו - 'A'BC וגם 'AC'B וגם B'A'C דומים היחס בין צלעותיהם 1:2 וזה גם היחס בין הרדיוסים

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo127.gif פתרון כמעט מושלם

קוי האמצעים אכן מקבילים לצלעות, ושווים לחצאיהם. המשולשים אכן דומים. מה שחסר, זה רק... התשובה! צריך לנסח אותה בהתאם לניסוח השאלה: למה שווה רדיוס המעגל הקטן, כאשר רדיוס המעגל הגדול שווה R? ומכיוון שהיחס בין צלעות המשולשים בהתאם הוא אכן 1:2, התשובה היא: R/2. פשוט צריך להגיד את זה בפירוש, וסליחה שאני "נטפל"

. הפתרון נכון כמובן

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo35.gif חידת המשך (לפי השרטוט שלך!)

כפי שרואים בשרטוט שלך, המעגל החוסם את המשולש 'A'B'C הוא לאו דווקא חסום במשולש המקורי ABC. יכולים להיות מקרים פרטיים, בהם כן (למעשה, זה יקרה רק במשולש שווה-צלעות). אפשר להיווכח שלא תמיד, אם ניקח למשל משולש ABC קהה-זווית. אבל, בואו לא ניכנס ל"פילוסופיות" האלו. מה שבטוח, זה שהוא או חסום, או לא חסום. אין אפשרות שלישית. ניקח צלע כלשהי, למשל BC. המעגל הקטן (שאנחנו כבר יודעים שהרדיוס שלו שווה R/2) יש לו לפחות נקודה אחת משותפת עם הישר BC, והיא הנקודה 'A. הוא (המעגל הקטן) או משיק לישר BC בנקודה 'A, או חוצה אותו בנקודה זו. אפשרות שלישית אין. ניקח עכשיו ישר כזה: אם המעגל הקטן משיק לישר BC, ניקח את הישר BC עצמו. אם המעגל הקטן חוצה את הישר BC, ניקח ישר אחר, המשיק למעגל הקטן ומקביל לישר BC. הערה חשובה: ישנם שני ישרים כאלה! עלינו להגדיר במדוייק, איזה מהם אנו לוקחים! הישר BC מחלק את המישור לשני תחומים, "צדדים": הצד בו נמצא המשולש ABC, למשל הנקודה A, והצד הנגדי. אז ניקח את הישר החדש מהצד הנגדי לנקודה A. כנ"ל, ניקח ישרים חדשים עבור שאר הצלעות של המשולש ABC. חלקם יכולים להיות שונים מהישרים של הצלעות (ומקבילים להן), וחלקם יכולים להיות הישרים המקוריים של הצלעות. שלושת הישרים יוצרים משולש חדש. יכול להיות מקרה פרטי, בו המשולש החדש זהה למשולש המקורי ABC - כאשר המעגל הקטן משיק לכל הצלעות של המשולש ABC, כלומר חסום בו. עכשיו השאלות: 1. האם "המעגל הקטן" שלנו חסום במשולש החדש? 2. האם המשולש החדש דומה למשולש המקורי ABC? 3. האם צלעותיו יכולות להיות יותר קטנות (בהתאם) מצלעות המשולש המקורי ABC?

 

[lupoN]

או קיי, ננסה להמשיך ../images/Emo13.gif

המשכתי את השרטוט וכמובן שהוא (באופן מפתיע...) דומה ביותר לשרטוט שכבר העלית כרמז (עבה) להוכחה של החידה הגיאומטרית שהצגת ומופיעה בעמוד הקודם

) אם כך, התשובות (מקווה...) 1. האם "המעגל הקטן" שלנו חסום במשולש החדש? היות שכל צלעותיו משיקות למעגל - כן. בנינו את צלעותיו כמשיקים. 2. האם המשולש החדש דומה למשולש המקורי ABC? היות שבנינו אותו כך שצלעותיו מקבילות לאלו של המשולש המקורי ABC, הזוויות ה"חדשות" גם כן זהות, אם כך - הוא דומה. 3. האם צלעותיו יכולות להיות יותר קטנות (בהתאם) מצלעות המשולש המקורי ABC? לפי שיטת הבנייה של הקווים המקבילים באופן שיהיו בחלק המישור הנמצא מחוץ לתחום המשולש - צלעותיו של המשולש החדש עשויות להיות גדולות או שוות לצלעות המשולש המקורי.

 

[lupoN]

ככה זה נראה עם משולש קהה זווית

 

[טלמון סילבר]

תמונה יפה../images/Emo45.gif

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo127.gif נכון מאוד, ו... ../images/Emo35.gif חידת ההמשך.

מכיוון שהמשולש החדש דומה למשולש המקורי ABC, וצלעותיו גדולות יותר (בהתאם) או שוות, נשאלת השאלה הבאה: האם רדיוס המעגל החסום במשולש המקורי ABC (שאינו מופיע בשרטוט) יכול להיות יותר גדול מרדיוס המעגל החסום במשולש החדש (המופיע בשרטוט!)?

 

[lupoN]

המשך

א. צלעות המשולש החדש (הירוק) גדולות/ שוות לצלעות המשולש המקורי. ב. המשולשים דומים. יחסי הצלעות המתאימות (של שני המשולשים הנ"ל) הוא קבוע. אם נמצא את המנה בין אורך צלע של המשולש החדש למשולש המקורי, היא תהיה גדולה/שווה 1. היחס בין הרדיוסים צריך להיות אותו יחס. כלומר גם הוא אותו קבוע הגדול/שווה 1. זה אומר שרדיוס המעגל החסום במשולש המקורי קטן מרדיוס המעגל החסום במשולש החדש. כפי שמצאנו קודם, רדיוס המעגל החוסם את המשולש המקורי שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם את המשולש שצלעותיו מחברות בין אמצעי צלעות המשולש המקורי ('A'B'C), ורדיוס אחרון זה גדול/שווה מרדיוס המעגל החסום במשולש המקורי. מכאן אפשר להסיק כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש המקורי גדול שווה לפעמיים רדיוס המעגל החסום בו.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo127.gif ובזאת מסתיימת הוכחת החידה ../images/Emo45.gif