משהו יכול........

[רון חשבון]

ואני שעה מחפש איפה רשמתי את זה...

 

[מאור גולדשמידט]

תודה,תודה,תודה,אבל.....

איך מגיעים לנגזרת(זה החלק הכי חשוב עבורי)?

 

[cauchy]

...

שמו לך פה אחלה קישור, אז תגיד אם זה מספיק לך או שאתה רוצה לדעת גם איך גוזרים ודברים נוספים.

 

[רון חשבון]

תשובה

קצת סבלנות ! אני משתתף ב 11 פורומים... המושג [URL='http://'] קירוב לינארי [/URL] לקוח מתכנית הלימודים החדשה במתמטיקה שפותחה במשרד החינוך. זהו הסבר דידקטי שבא להחליף את הצורך להגיד ולרשום את המושג [URL='http://'] גבול [/URL], שנחשב קצת קשה ואבסטרקטי בהתחלה, ולהציג את הנושא באופן קצת יותר מוחשי ופשוט. כמו בכל דבר, יש וויכוח אם הכנסת המושג [URL='http://'] קירוב לינארי [/URL] באמת היתה רעיון טוב או שעדיף לחזור ולהשתמש במושג [URL='http://'] גבול [/URL].

 

[רון חשבון]

הצעה

כמו שאת בטח מתארת לעצמך, יהיה לי קצת קשה כאן בכמה שורות להעביר לך את כל הנושא. אם זה בכל זאת מעניין אותך, נסי להשיג או להשאיל את הספר "מתמטיקה לחטיבה עליונה" ברמת 4-5 יח"ל, כרך ראשון, של המרכז הישראלי להוראת המדעים באוניברסיטה העברית. בפרק מספר 3 יש הסבר מפורט עם דוגמאות לנושא הקירוב הלינארי.

 

[yontanbn]

קירוב לינארי

אני לא מכיר תוכניות לימודים של משרד החינוך אבל אני חושב שאני מבין מהו קירוב לינארי יש לנו פונקציה. איזה כיף, פונקציה, כולה משלנו! עכשיו הפונקציה הזאת עושה הרבה שטויות, מסתובבת לה עושה פיתולים לפה ולשם... אנחנו מחפשים, באיזושהי נקודה, קירוב לינארי לפונקציה? מה זאת אומרת, זאת אומרת פונקציה שמתנהגת הכי יפה שבעולם (קו ישר, לפי המתמטיקאים), שמקרבת את הפונקציה בנקודה הזאת. עכשיו מה זאת אומרת מקרבת? אז לזה כבר יש הגדרה. אבל אינטואטיבית, הקו הישר שמקרב פונקציה מסויימת בנקודה, הוא ה"משיק" לפונקציה בנקודה. למה רשמתי משיק במרכאות? כי מה זה לעזאזל משיק לפונקציה? קו שנוגע בה רק בנקודה אחת? לא נכון! המשיק לפונקציה בנקודה אחת יכול לחתוך את הפונקציה בעוד שבע-עשרה נקודות, להשיק לה בעוד אינסוף נקודות, או באמת לא לגעת בה יותר. משיק זה מושג ממעגלים, לא מפונקציות. ה"משיק" לפונקציה הוא ה"גבול" של הישרים שעוברים דרך נקודות בפונקציה, כאשר שתי הנקודות האלה מתקרבות ונהיות אותה נקודה, ששווה לנקודה שרצינו לבדוק. ואת זה משיגים ע"י גזירה כלומר, כמו שכולם יודעים, נגזרת שווה לשיפוע המשיק. יש לנו את השיפוע, יש לנו את ערכו בנקודה מסויימת (ערך הפונקציה), ולכן יש לנו את המשיק. עוד הערה, ישנן פונקציות שמתנהגות כל-כך לא יפה, שאי אפשר לדבר על קו ישר שמקרב אותן. פונקציות אלה נקראות לא-גזירות בנקודה, או לא-דיפרנציאביליות בנקודה, זה המונח היותר מקצועי, שאפשר להרחיב אותו לפונקציות ממרחבים בעלי יותר מימדים למרחבים בעלי יותר מימדים. אז ההגדרה של סתם "גזירות" שעובדת עבור פונקציות מR לR זה קיום הגבול של הישרים שעוברים דרך נקודות בפונקציה, שדיברנו עליהם קודם. רק שאנחנו לא בדיוק משאיפים שני ישרים ביחד, עד שהם מתלכדים להיות משיק, אנחנו מעבירים ישר דרך הנקודה שלנו, ודרך עוד נקודה, ומשאיפים את הנקודה השניה לנקודה שלנו. זו ההגדרה של הנגזרת כפי שלימדו אותה כשאני עשיתי בגרות, ולדעתי כך צריך להישאר והיא:

lim (f(x+h)-f(x))/h h->infinity​

כלומר, פונקציה תיקרא גזירה בנקודה מסויימת אם קיים הגבול הזה והנגזרת בנקודה הזאת תהיה ערך הגבול הזה. אז מה זה דיפרנציאביליות? אולי בעוד כמה זמן אני אכתוב ההגדרה קצת מסורבלת, ולא באמת נחוצה להבנת המושג של קירוב לינארי, למרות שבמובן מסויים היא יותר מסבירה אותו, אבל צריך אינטואיציה מתמטית כבדה יותר

 

[רון חשבון]

קיורב לינארי

ההסבר שיונתן נתן כאן על הקירוב הלינארי הוא כמובן נכון ומדוייק. אבל אני רק אוסיף, שהרבה פעמים בלימודים שבבית הספר, קוראים למושגים מסויימים בשמות שונים, כאשר ההבדל בין השמות איננו במהות עצמה, אלא יותר בדרך, בגישה הדידקטית ובסימונים. גם כאן, כאשר מלמדים בבית הספר את מושג הקירוב הלינארי לפי הספרים שציינתי, המושג הזה לא שונה במהותו של עניין בכלום ממושג הגבול או מההסבר של יונתן. השוני הוא בגישה ובסימונים ! אני לא איכנס כאן לכל דרך הלימוד, אבל אזכיר בקצרה שבשיטה זו לא מזכירים אפילו פעם אחת את המושג "גבול" או "שואף ל..." או "דיפרנציביליות". מה שעושים שם הוא, שלוקחים את הגרף ומגדילים אותו בעזרת "מיקרוסקופ" יותר ויותר, עד שהצורה שלו ליד הנקודה המבוקשת הופכת להיות "דומה" לקו ישר (בהנחה שזה אפשרי בכלל). לכן גם זה נקרא "קירוב לינארי". בשלב הבא מפתחים שיטה להתקרב יותר ויותר למשוואת הישר הזה ולמצוא אותה (זה כמובן המשיק שציינת). כל מי שקצת מכיר את החומר מבין ששתי השיטות האלה עושות אותו הדבר בדיוק, אבל עבור התלמיד שנתקל בזה פעם ראשונה יש כאן הבדל דידקטי לא קטן. רק אני אציין פעם שנייה, שלשיטה הזו (כמו לכל דבר חדש) יש הרבה מסנגרים ומקטרגים, והרבה מורים זנחו אותה במשך השנים.

 

[רון חשבון]

למאור

ראיתי בכרטיס האישי שלך שאתה בן 14 . האם אתה מכיר את מושג ה"גבול" , או לחילופין את מושג ה"קירוב הלינארי " ?

 

[yontanbn]

טעות קטנה

טוב, זה מה שקורה כשכותבים הודעה ולא קוראים אותה אח"כ. כתבתי שמדובר בגבול כאשר

h->infinity​

וכמובן זה אינו המקרה, כי אנחנו רוצים שהנקודה השניה תשאף ל*אותה נקודה* ולא לנקודה *מאוד מרוחקת* ממנה הגבול הנכון הוא, כמובן

lim (f(x+h)-f(x))/h h->0​

ואם כבר תיקנתי, אז הערה קטנה, שימו לב שהשאיפה של h לאפס, היא משני הכיוונים מה שאומר שהנקודה השניה, יכולה לבוא גם משמאל, גם מימין, וגם משניהם ביחד

 

[מאור גולדשמידט]

משהו יכול........

משהו יכול להסביר לי בצורה הפשוטה ביותר ועם אפשר אז בקובץ וורד עם דוגמאות והסברים מהם נגזרות?

 

[מאור גולדשמידט]

לרון!

אז ככה,אני לא מכיר את שני המושגים הנ"ל("גבול" ו-"קירוב לינארי") ובנוסף רציתי לומר שאתה פשוט בן אדם מדהים וממולח ביותר-מילא ממולח אבל לעזור לרוב/כל האנשים פה בפורום?!זה פשוט מדהים!!!! ועוד משהו, כדי לחסוך שאלות מיותרות מצד כמה אנשים אנה מהתחלה(או כמו שאמי נוהגת לומר "אקדים תרופה למכה.....")אני רוצה לדעת מהי נגזרת כי שנה הבאה אני מתחיל לעשות תואר ראשון בכלכלה וניהול אז במקום לגשת לקורס ההכנה (שמלמד על נגזרות) בלי לדעת כלום אני רוצה לדעת כבר את החומר ולעשות רושם טוב על האוניברסיטה. בבקשה תעזור לי, מאור

 

[רון חשבון]

רעיון טוב...

אבל אם אינך מכיר את המושגים האלה, זה די ארוך ובעייתי להסביר כאן. אני אפנה אותך למספר [URL='http://'] ספרים [/URL] טובים (שתוכל גם להשאיל בספריות), שמסבירים את מושג הגבול והנגזרת מהתחלה בשפה פשוטה וברורה. אני ארשום לך את זה מחר או מחרתיים, ואם למישהו כאן יש המלצה דומה אז כבר ירשמו לך. יש גם מספר [URL='http://'] אתרים [/URL] מצויינים באינטרנט, אבל הם באנגלית ואני מנחש שאתה לא שולט בשפה ובמינוחים הלועזיים. בהצלחה,

 

[מאור גולדשמידט]

תשמע,רון...

רון, אולי ההודעה קצת אגואיסטית אבל הקורס מתחיל ביום שני ואני מתחנן שתעשה כל מה שאתה יכול כדי לעזור לי(בין אם זה לכתוב את ההסבר בעצמך או לתת לי את שם הספרים/אתרים במהירות),מסכים? אם "כן" אז זה יהיה נפלא, ואם "לא" אתה עדיין בן אדם מדהים מבחינתי. תודה רבה, מאור

 

[רון חשבון]

אני שומע !

כמו שהציעו לך כדאי להתחיל בספר כמו חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של בני גורן (לרמת 4-5 יח"ל) שצבעו צהוב ולקרוא את הפרק השני. כמו כן ניתן לקרוא את "מתמטיקה לחטיבה עליונה" ברמת 4-5 יח"ל, כרך ראשון, של המרכז הישראלי להוראת המדעים באוניברסיטה העברית. בפרק מספר 3 יש הסבר מפורט עם דוגמאות לנושא הקירוב הלינארי. גם לאוניברסיטה הפתוחה יש כמה ספרים טובים מאד שמסבירים את מושג הגבול והנגזרת, חלקם ברמה גבוהה יותר (חשבון אינפיניטסימלי) וחלקם ברמה פחות גבוהה (חדו"א). יש עוד ספר מצויין שמסביר את הנגזרת בצורה פשוטה ונהדרת, אבל אינני מצליח להיזכר בשמו, ואם אצליח אני ארשום לך את זה מחר. בגלל קוצר הזמן, אני ממליץ לך בכל הספרים שהוזכרו, לא להתעמק יותר מידי בשיטות השונות לחישוב גבולות, אלא יותר בהבנת המושגים עצמם והשימוש בהם. בהצלחה,

 

[אוילר]

מקווה שזה יעזור

 

[cauchy]

שתהיה לי בריא

קודם כל, רק בשביל העניין האישי, איפה אתה הולך ללמוד, ולמה דווקא את זה ובגיל כזה. בקשר לנגזרות, עם כל הזלזול שתמצא בקרב החבר´ה כאן לחומר של תיכון, אי אפשר להסביר את זה בכמה הודעות, למרות שזה די פשוט. בתכלס, קח את הספר של בני גורן (חדו"א) ושב עליו שבועיים, אין סיכוי שתצטרך יותר מזה. אם יהיו לך בעיות להבין משהו שם, מה שלא צפוי, תשאל.

 

[מאור גולדשמידט]

Cauchy!

בשביל העניין האישי אני הולך ללמוד את זה באוניברסיטת חיפה (מין הסכם שעשו עם הבית ספר שלי שכל אחד עם ממוצע מעל 85 ועם ציון מעל 85 באנגלית יכול ללמוד לתואר ראשון)."את זה"(כלכלה וניהול) בגלל שזה מעניין (אותילפחות) ובגיל הזה בגלל שלדעתי טוב להתחיל את זה מוקדם. (זהו, עניתי על הכל) ועכשיו........ לשאלה שלי(טם-טם-טם):איפה אפשר להשיג את הספר המדובר?

 

[cauchy]

למאור

את הספרים של בני גורן אתה יכול למצוא בכל חור שקורא לעצמו חנות ספרים. אם חבל על ההשקעה (וחבל) לדעתי יש בכל ספריה אוניברסיטאית לפחות כמה עותקים של הספרים של בני גורן. דרך אגב - אתה צריך לדעת רק נגזרות או דברים נוספים? הקורס שאתה לוקח זו בעצם מכינה במתמטיקה?

 

[מאור גולדשמידט]

הסברה בנושא התואר

אני הולך לעשות תואר ראשון בכלכלה וניהול והקורס הוא מכינה ואני לא יודע את כל הנלמד במכינה כל מה שאני יודע הוא שחלק מהנושא הוא נגזרות! ואני עדיין מבקש מכם חומר בנושא נגזרות! בתודה מראש , מאור

 

[bralon]

רק מעל 85, הייתי מצפה לממוצע מעל

90 כדי להתקבל לתואר ראשון בגיל כ"כ צעיר.