מכפלת שני מספרים

[srulikbd]

מכפלת שני מספרים

יש את הפתרון הקל ש מוציאים מספר חדש מאותה צורה כפונקציה של שני המספרים שכפלנו. איזה עוד דרך? כתוב שיש עם מטריקס, אבל אני לא ידוע מה זה..

 

[ןן גיל ןן]

עם מטריצות:

a^2+ab+b^2 הוא הדטרמיננטה של המטריצה

a+b a -a b​

קל לבדוק שמכפלה של שתי מטריצות מצורה זו היא מטריצה מאותה הצורה.

 

[עריסטו]

פתרון יפה../images/Emo70.gif + שאלה

ידוע שגם הפולינום a^2+b^2 הוא בעל התכונה שבשאלה (מכפלת שני מספרים מהצורה הזו גם היא מהצורה הזו). שאלתי היא: האם ידועים עוד פולינומים P(m,n) zzz ממעלה 2 או יותר בעלי התכונה - מכפלת שני מספרים מהצורה P(m,n) zzz גם היא מהצורה הזו? האם ידועים כל הפולינומים האלה? ומה עם פולינומים של שלושה משתנים או יותר?

 

[עריסטו]

כרגע נזכרתי

לכל N, מכפלת שני מספרים מהצורה zzz a^2+Nb^2 גם היא מהצורה הזו. האם פרט לזה ולפולינום שבחידה המקורית יש עוד?

 

[ןן גיל ןן]

כן

על ידי שימוש בעובדה שצינת, והשלמה לריבוע, נוכל לעבור לתבניות ריבועיות כלליות: למשל בחידה המקורית,

a^2 + ab + b^2 = (a+b/2)^2 + 3/4 b^2​

 

[גיל14]

חידה פשוטה נוספת

הוכח שכל מספר מהצורה הנ"ל הוא כפולה של שני מספרים מהצורה הנ"ל.