מיצאו פונקציה...

[עריסטו]

מיצאו פונקציה...

מיצאו פונקציה f zzz כך שלכל n טבעי, f(f) zzz הוא המספר הראשוני ה - n - י. למשל

f(f(1)) = 2 f(f(2)) = 3 f(f(3)) = 5 f(f(4)) = 7 f(f(5)) = 11​

 

[ןן גיל ןן]

../images/Emo62.gif

תהי g הפונקציה הנותנת ל- n את הראשוני ה n-י. נסמן ב- g^k את ההרכבה של g על עצמה k פעמים. תהי A קבוצת המספרים הטבעיים שאינם ראשוניים. נחלק את A לזוגות סדורים מהצורה x,y. (למשל הזוג הראשון יהיה 1,4, הזוג השני 6,8 וכו' אבל אפשר גם כל חלוקה אחרת). כעת נגדיר את הפונקציה שלנו באופן הבא:

f(g^k(x))=g^k f(g^k)=g^(k+1)(x)​

הפונקציה מוגדרת היטב כי כל מספר טבעי ניתן לכתיבה יחידה בצורה g^k(a) zz כאשר a אינו ראשוני. וכל a כזה הוא איזשהוא x או איזשהוא y. וקל לראות שהפונקציה מקיימת את הנדרש.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif

 

[מספר6]

לא הבנתי

"כל מספר טבעי ניתן לכתיבה יחידה בצורה g^k(a) zz " אבל zz g^k(a) zz הוא ראשוני.

 

[ןן גיל ןן]

כאשר g^k, k=0 היא פונקצית הזהות.

 

[מספר6]

יפה ../images/Emo8.gif

 

[ןן גיל ןן]

הכללה

תהי g פונקציה חח"ע מהטבעיים לעצמם. מצאו תנאי השקול לכך שקיימת פונקציה f מהטבעיים לעצמם כך שלכל x טבעי מתקיים

f(f(x))=g(x)​

כאשר g מקימת גם g(x)>x לכל x, התנאי פשוט במיוחד. מהו? (דוגמא: כאשר g(x)=x+N הפונקציה f קימת אמ"מ N זוגי).