מטריצה של ספרות

[עריסטו]

מטריצה של ספרות

יש לכם מערך מלבני של ספרות, עם m שורות ו - n עמודות (בתמונה דוגמה עם m=3 ו - n=4). אם קוראים כל שורה וכל עמודה כמספר, מקבלים m+n מספרים (בדוגמה המספרים הם 5679, 0831, 3461, 503, 684, 736, 911). הוכיחו: אם m+n-1 מהמספרים מתחלקים ב - 7, גם המספר הנוסף מתחלק ב - 7.

 

[ןן גיל ןן]

../images/Emo62.gif

למען פשטות ההסבר נניח שהמספר הנוסף נמצא בשורה מסוימת (ולא בטור). נכפול את האיבר בפינה הימנית התחתונה ב- 1. את שני האיברים באלכסון שמעליו ב- 10. את האיברים באלכסון הבא ב- 100. וכולי (כלומר אם האיבר הוא i מקומות מעל השורה התחתונה ו- j מקומות משמאל לטור הימני, נכפול ב- 10 בחזקת i+j). לאחר פעולה זו, סכום האיברים בשורה מסוימת שווה למספר הרשום בשורה, כפול חזקה מסוימת של 10. וכנ"ל לגבי כל טור. לכן,במטריצה החדשה, סכום האיברים בכל טור ובכל שורה (למעט אולי בשורה של המספר הנוסף) מתחלק ב-7. לכן גם סכום האיברים בשורה המיוחדת מתחלק ב-7. (כי סכום כל האיברים במטריצה מתחלק ב-7, ע"י סיכום כל הטורים, ואז מחסרים את סכומי כל השורות האחרות). מכאן שהמספר הנוסף, כפול חזקה של 10, מתחלק ב-7, ולכן המספר הנוסף עצמו מתחלק ב- 7.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif