מחפש דרכים...

[Renatius Cartesius]

מחפש דרכים...

הוכיחו בשתי דרכים, דרך פשוטה ובדרך ה"מסובכת" ביותר(זה מה שאני עשיתי....) את הטענה הבאה: הסכום הבא מתחלק ב-4 ללא שארית. zzz 1^5+2^5+3^5+...+100^5

 

[clocker]

הנה הדרך הכי ברורה לעין

פשוט עושים mod 4 ואז מכיוון ש

1^5+2^5+3^5+4^5 mod 4 = (1+4k)^5+(2+4k)^5+(3+4k)^5+(4+4k)^5 mod 4​

אז אפשר לסמן

s=1^5+2^5+3^5+4^5 mod​

ולהגיד שהסכום כולו מודולו 4 הוא 25s ברור ש 4 ו2 בחזקת 5 מתחלקים ב4, צריך רק לראות את שני המחוברים הנוספים

1^5+3^5=244=4*61​

ולכן s mod 4 =0, והסכום כולו מתחלק ב4.

 

[Renatius Cartesius]

../images/Emo127.gif זאת...

הדרך הקלה...

 

[ןן גיל ןן]

עוד דרכים

מכיוון שחזקה חמישית של מספר זוגי מתחלקת ב-4 אנו נשארים עם המחוברים האיזוגיים. מספר איזוגי הוא זר ל-4 ולכן ע"פ זהות אוילר (או ע"פ בדיקה ישירה) מקיים ש- x^2=x מודולו 4 ולכן גם x^5=x. לכן מודולו 4 אנו מקבלים את סכום הסדרה החשבונית 1+3+...+99 מה שנותן 50*50 שאכן מתחלק ב-4. והדרך המסובכת מכולן- לחשב את הסכום עצמו, לא מודולו 4. ראשית צריך לחשב את מקדמי הפולינום המתאים ואז להציב בנוסחה.

 

[Renatius Cartesius]

כמובן שנכון... ../images/Emo127.gif

וזאת הנוסחה שאני קיבלתי...

 

[srulikbd]

דומה

הזוגיים מתחלקים ב4, האי זוגיי פשוט מפרקים לגורמים וזה מתחלק ב4... למשל 1^3+3^5=4*..