מחלקים ראשוניים

[ןן גיל ןן]

מחלקים ראשוניים

נתון פולינום עם מקדמים שלמים, zz p(x) zz . הוכיחו כי אם רושמים את כל המחלקים הראשוניים של כל המספרים zz p(1), p(2), p(3), ..... zz (ומוחקים חזרות) יופיעו ברשימה אינסוף מספרים ראשוניים שונים.

 

[mor48]

נסיון

אם האיבר החופשי של הפולינום הוא 0 אזי זה טריוויאלי. אחרת אפשר להראות (אם יהיה צורך אני אראה) כי כל פולינום ניתן לרישום של המכפלה של האיבר החופשי כפול פולינום אחר שבו האיבר החופשי הוא 1. נסתכל על הפולינום החדש בו האיבר החופשי הוא 1. בפולינום זה ניתן להראות שיש אין סוף גורמים ראשוניים כך:

f(1) = t לו יש מספר מסוים של גורמים ראשוניים f(t) לא מתחלק ב טי כי האיבר החופשי הוא 1. f(f(t)) לא מתחלק וכו. מקווה שאין לי טעויות.​

 

[ןן גיל ןן]

ניסיון יפה, אבל-

ראשית, אם את מוציאה את האיבר החופשי מחוץ לסוגריים אז נשאר פולינום שמקדמיו בהכרח שלמים (למשל 2 + 2^x יהפוך ל - zz 2(0.5x^2+1) zz). שנית, f(f(t)) zz אמנם לא יתחלק ב- f(t) zz ואפילו יהיה זר לו, אבל אין ערובה לכך ש- f(f(t)) zz יהיה זר ל- t. ולכן לא בהכרח קיבלנו גורם ראשוני חדש.

 

[mor48]

vxcr

ראשית הכוונה היתה ל:

t, f(t), f(t*f(t)),,,,
p(x)= a0x^n+a1x^(n-1)+...an p(an*b)=a0*(an*b)^n + a1(an*b)^(n-1) + ..an p(an*b) = an[a0*an^n*b^n +...1]=an[c0*b^n +c1*b^(n-1)+...1]= an[f]​

לכן מספיק להראות שהפולינום שהאיבר החופשי שלו 1 מכיל אין סוף גורמים ראשוניים.

 

[ןן גיל ןן]

../images/Emo127.gif וזה לא הפתרון שהתכוונתי אליו

יש צורך בכמה תיקונים אך ההוכחה שלך עובדת, ולא רק כאשר המקדם החופשי הוא 1. הרעיון הוא להפעיל בכל פעם את הפולינום על מכפלת כל האיברים הקודמים בסדרה, ואז המחלק המשותף של כל שני איברים מחלק את המקדם החופשי- ולכן ע"י חלוקה במחלק המשותף עם המקדם החופשי מקבלים סדרת מספרים זרים המחלקים את ערכי הפולינום. יפה! אני חשבתי על הוכחה מסוג שונה לחלוטין- הוכחה המסתמכת רק על קצב הגידול של הסדרה הנתונה. למשל, אם p הוא פולינום, אז אפשר להוכיח שסדרת המספרים: a = [p + log + (-1)^n] zz כאשר [] מצינים עיגול לשלם הקרוב ביותר, מקימת שלאברי הסדרה יש אינסוף מחלקים ראשוניים.