ל-Grimsom
- פותח הנושא bralon1
- פורסם בתאריך
מאוחר מדי
כבר הגבתי שם. בכל אופן, אם נוח לך יותר, הנה התגובה שלי שוב (פשוט עשיתי copy paste): הסולפסיזם קצת יותר קיצוני ממה שנקרא לאחרונה "תיאוריות מטריקס" (שזה למעשה פשוט ספקנות - קצת כמו זו שדקרט מעלה בפרק הראשון להגיונות). על פי הסולפסיסט (מלשון סול - לבד) בעולם יש רק אני; אני זהה לעולם. זה כמו במטריקס, רק שהמכונות והתוכנות בתוך האני ולא מחוצה לו, וזה אני חסר גוף. בכל אופן - ישנו ספק שהאור הוא הגורם לתחושותינו. האנלוגיה שעשיתי בין הטעון שלך לבין עניין כדוה"א והשמש באה להראות שמה שאתה עושה הוא להסתמך על תיאוריה כנגד מי שבא ומעלה טענה בדבר מופרכות התיאוריה שלך. כפי שהראה גדל (ורבים וטובים לפניו) אינך יכול להוכיח תיאוריה מתוך עצמה - אתה זקוק לביסוס חיצוני. אינך יכול לטעון שיש עולם חיצון משום שיש אור שגורם לנו לראות - היות וכשאתה מניח שהאור הוא שגורם לנו לראות אתה כבר מניח שיש עולם חיצון. האמנם מתמטיקה היא שפה בלבד? האם המתמטיקה אינה מקנה לך ידע באופן שיטתי - האם איננו מגלים דברים חדשים במתמטיקה עצמה, חוקרים ישים מתמטיים? מה לא עקבי בתחזית אסטרולוגית? במקרה של אלוהים - לטענת חלק מהפילוסופים ישנה ראיה אמפירית שהוא אכן קיים. הוא התגלה להמוני אנשים במעמד הר סיני (אם אתה מקבל את עדות המוני בית ישראל), או למספר אנשים בודדים לאחר שחזר מן המתים (אם אתה מקבל את עדות השליחים). כך שניתן גם להפריך את קיומו - להוכיח שמעמד הר סיני לא ארע מעולם, או להצביע על עצמותיו של ישו. אם ההגדרה מפריע לך - ניתן להגדיר את המונח אלוהים בדיוק רב כסיבת הכל. ומה באשר לברירה הטבעית - כיצד קריטריון ההפרכה של פופר חל עליה?
כבר הגבתי שם. בכל אופן, אם נוח לך יותר, הנה התגובה שלי שוב (פשוט עשיתי copy paste): הסולפסיזם קצת יותר קיצוני ממה שנקרא לאחרונה "תיאוריות מטריקס" (שזה למעשה פשוט ספקנות - קצת כמו זו שדקרט מעלה בפרק הראשון להגיונות). על פי הסולפסיסט (מלשון סול - לבד) בעולם יש רק אני; אני זהה לעולם. זה כמו במטריקס, רק שהמכונות והתוכנות בתוך האני ולא מחוצה לו, וזה אני חסר גוף. בכל אופן - ישנו ספק שהאור הוא הגורם לתחושותינו. האנלוגיה שעשיתי בין הטעון שלך לבין עניין כדוה"א והשמש באה להראות שמה שאתה עושה הוא להסתמך על תיאוריה כנגד מי שבא ומעלה טענה בדבר מופרכות התיאוריה שלך. כפי שהראה גדל (ורבים וטובים לפניו) אינך יכול להוכיח תיאוריה מתוך עצמה - אתה זקוק לביסוס חיצוני. אינך יכול לטעון שיש עולם חיצון משום שיש אור שגורם לנו לראות - היות וכשאתה מניח שהאור הוא שגורם לנו לראות אתה כבר מניח שיש עולם חיצון. האמנם מתמטיקה היא שפה בלבד? האם המתמטיקה אינה מקנה לך ידע באופן שיטתי - האם איננו מגלים דברים חדשים במתמטיקה עצמה, חוקרים ישים מתמטיים? מה לא עקבי בתחזית אסטרולוגית? במקרה של אלוהים - לטענת חלק מהפילוסופים ישנה ראיה אמפירית שהוא אכן קיים. הוא התגלה להמוני אנשים במעמד הר סיני (אם אתה מקבל את עדות המוני בית ישראל), או למספר אנשים בודדים לאחר שחזר מן המתים (אם אתה מקבל את עדות השליחים). כך שניתן גם להפריך את קיומו - להוכיח שמעמד הר סיני לא ארע מעולם, או להצביע על עצמותיו של ישו. אם ההגדרה מפריע לך - ניתן להגדיר את המונח אלוהים בדיוק רב כסיבת הכל. ומה באשר לברירה הטבעית - כיצד קריטריון ההפרכה של פופר חל עליה?
never say never
"האנלוגיה שעשיתי בין הטעון שלך לבין עניין כדוה"א והשמש באה להראות שמה שאתה עושה הוא להסתמך על תיאוריה כנגד מי שבא ומעלה טענה בדבר מופרכות התיאוריה שלך. כפי שהראה גדל (ורבים וטובים לפניו) אינך יכול להוכיח תיאוריה מתוך עצמה - אתה זקוק לביסוס חיצוני. אינך יכול לטעון שיש עולם חיצון משום שיש אור שגורם לנו לראות - היות וכשאתה מניח שהאור הוא שגורם לנו לראות אתה כבר מניח שיש עולם חיצון." בקשר לגדל, האם הוא לא הראה כי תיאוריה מתמטית לא יכולה להיות שלמה בכך שתמיד יהיו טענות אצלה שלא נוכל להפריך או לאמת אותן באותה מערכת של אקסיומות ומשפטים? (לפחות זה פירוש חלקי וספציפי לעבודתו). בקשר לביסוס חיצוני, עליי לטעון כי אתה צודק שאכן טענה זו כבר מתבססת על העובדה כי יש עולם חיצון. ננסה דוגמא אחרת (נראה מה תהיה תגובתך הפעם), נגיד יש לנו אדם במצב החמור ביותר שניתן לחשוב עליו כלומר הוא אינו חש את העולם לפי החושים המוכרים לנו כולם משותקים אצלו וכך הוא מאז שנולד, האם העובדה כי הניתנים החושניים שלו למעשה אינם קיימים אומרת כי הוא בעצם לא קיים?, מבחינה זו הוא בעצם דומם. "האמנם מתמטיקה היא שפה בלבד? האם המתמטיקה אינה מקנה לך ידע באופן שיטתי - האם איננו מגלים דברים חדשים במתמטיקה עצמה, חוקרים ישים מתמטיים?" האם הדברים החדשים האלה באמת דברים חדשים או בעצם פיקציות של האדם. הרי לך דוגמא פשוטה, היצירה של המספרים המרוכבים האם הם לא היו קיימים לפני שהגדירו אותם?! למעשה הם כן היו פשוט לא רצו לטפל בהם. "מה לא עקבי בתחזית אסטרולוגית?" תבדוק בתחזית שלך ואני יכול לבדוק בתחזית שלי, לפעמים זה נכון לפעמים לא, אפשר לנסות לעשות התפלגות של ההסתברות מתי מתי התחזית נכונה 90 אחוזים מתי 50 אחוזים ומתי 0 אחוזים. אני עדיין לא מבין למה לא מנסים לשלוח אסטרונאוטים לחלל על סמך מידע אסטרולוגי.
"במקרה של אלוהים - לטענת חלק מהפילוסופים ישנה ראיה אמפירית שהוא אכן קיים. הוא התגלה להמוני אנשים במעמד הר סיני (אם אתה מקבל את עדות המוני בית ישראל), או למספר אנשים בודדים לאחר שחזר מן המתים (אם אתה מקבל את עדות השליחים). כך שניתן גם להפריך את קיומו - להוכיח שמעמד הר סיני לא ארע מעולם, או להצביע על עצמותיו של ישו. אם ההגדרה מפריע לך - ניתן להגדיר את המונח אלוהים בדיוק רב כסיבת הכל. ומה באשר לברירה הטבעית - כיצד קריטריון ההפרכה של פופר חל עליה?" המונח אלהים כ"סיבת הכל" או שהאל הוא האינסוף עצמו, הם רעיונות יפים אבל לא מעשיים מבחינה מדעית כי לא ידועה לי דרך לאמתן אמפירית. אם האל הוא סיבת הכל אז מספיק לדעת אותה ואז תדע את כל מה שצופן לך העתיד, האם האל הוא מושא שניתן לאמת אותו? עדויות של אנשים מבחינה פילוסופית יכולה להיות משכנעת ביותר, אבל מבחינה מדעית/קריטית יש לבדוק את התנאים ההתחליים של המצב ולבדוק כי מה שאירע לא התרחש בגלל פרמטרים אחרים שלא נלקחו בחשבון. באשר לברירה טבעית, אני יודע מאוד מעט על נושא זה, (צר לי ביולוגיה היא לא בשבילי) לכן אינני רוצה להכניס את עצמי לצרה זו.
"האנלוגיה שעשיתי בין הטעון שלך לבין עניין כדוה"א והשמש באה להראות שמה שאתה עושה הוא להסתמך על תיאוריה כנגד מי שבא ומעלה טענה בדבר מופרכות התיאוריה שלך. כפי שהראה גדל (ורבים וטובים לפניו) אינך יכול להוכיח תיאוריה מתוך עצמה - אתה זקוק לביסוס חיצוני. אינך יכול לטעון שיש עולם חיצון משום שיש אור שגורם לנו לראות - היות וכשאתה מניח שהאור הוא שגורם לנו לראות אתה כבר מניח שיש עולם חיצון." בקשר לגדל, האם הוא לא הראה כי תיאוריה מתמטית לא יכולה להיות שלמה בכך שתמיד יהיו טענות אצלה שלא נוכל להפריך או לאמת אותן באותה מערכת של אקסיומות ומשפטים? (לפחות זה פירוש חלקי וספציפי לעבודתו). בקשר לביסוס חיצוני, עליי לטעון כי אתה צודק שאכן טענה זו כבר מתבססת על העובדה כי יש עולם חיצון. ננסה דוגמא אחרת (נראה מה תהיה תגובתך הפעם), נגיד יש לנו אדם במצב החמור ביותר שניתן לחשוב עליו כלומר הוא אינו חש את העולם לפי החושים המוכרים לנו כולם משותקים אצלו וכך הוא מאז שנולד, האם העובדה כי הניתנים החושניים שלו למעשה אינם קיימים אומרת כי הוא בעצם לא קיים?, מבחינה זו הוא בעצם דומם. "האמנם מתמטיקה היא שפה בלבד? האם המתמטיקה אינה מקנה לך ידע באופן שיטתי - האם איננו מגלים דברים חדשים במתמטיקה עצמה, חוקרים ישים מתמטיים?" האם הדברים החדשים האלה באמת דברים חדשים או בעצם פיקציות של האדם. הרי לך דוגמא פשוטה, היצירה של המספרים המרוכבים האם הם לא היו קיימים לפני שהגדירו אותם?! למעשה הם כן היו פשוט לא רצו לטפל בהם. "מה לא עקבי בתחזית אסטרולוגית?" תבדוק בתחזית שלך ואני יכול לבדוק בתחזית שלי, לפעמים זה נכון לפעמים לא, אפשר לנסות לעשות התפלגות של ההסתברות מתי מתי התחזית נכונה 90 אחוזים מתי 50 אחוזים ומתי 0 אחוזים. אני עדיין לא מבין למה לא מנסים לשלוח אסטרונאוטים לחלל על סמך מידע אסטרולוגי.
קיום סובייקטיבי
בדוגמה שלך, על אדם נטול חושים, אתה תולה את קיום האדם עבורנו (ולא עבורו) בקיום חושיו - ולא כך הוא. ברור שעבורנו הוא קיים (שוב, בהנחה שאנחנו מקבלים את קיומו של עולם חיצון). ישנה שאלה נפרדת - האם הוא קיים עבורנו כסובייקט או כאובייקט - שאלה מורכבת ומעניינת בפני עצמה, אבל אני לא חושב שהיא מעניינו כרגע. עבורו הוא קיים כסובייקט אם הוא מקיים רמה מספקת של מודעות עצמית, המאפשרת לו להתייחס לעצמו כאני אחראי. אובייקט אינו קיים עבור עצמו (או יותר נכון, אין מובן בו ניתן לדבר על קיום של אובייקט עבור עצמו). מכל מקום, גם הדוגמה הזו מניחה כבר קיום של עולם חיצון. באשר למתמטיקה - האם טענתך בדבר קיומם של מספרים מרוכבים קודם העיסוק המתמטי בהם לא תומכת דווקא בהיות המתמטיקה מדע ולא שפה? לפי הבנתי, אתה למעשה אומר שקיימים ישים מתמטיים והמתמטיקה היא מדע שחוקר אותם. עדיין לא הצלחתי להבין מה לא עיקבי בתחזית אסטרולוגית? האם מי שטוען שכשמרקורי נמצא במפה שלי בנסיגה יהיו לי בעיות תקשורת לא יטען כך תמיד, באשר לכל מפה אסטרולוגית שיערוך (אני סתם זורק לשם הטיעון, אין לי מושג מה המשמעות האסטרולוגית של נסיגה של מרקורי). טענה כזו נראת לי, עקרונית, כניתנת להפרכה (וברוב הפעמים שהסתכלתי בטורים אסטרולוגים, התחזיות שם היו מנוסחות באופן הניתן להפרכה). אם נשוב לאלוהים - כאמור, הוא אינו תיאוריה מדעית רק אם אתה מקבל את הקריטריון של פופר להיות תיאוריה מדעית. הוא תיאוריה מדעית טובה, אם אתה מקבל את התער של אוקהם כקריטריון לאיכותה של תיאוריה (לאוקהם ולפופר היו מושגי מדע שונים מאוד). הוא תיאוריה מדעית גרועה אם אתה מבקש שתיאוריה מדעית תהיה אינפורמטיבית ותספק גם חיזויים - ולא מסתפק רק באמיתיות ובפשטות. וזו כל הסיבה שהוא הוכנס לדיון - להראות שפשטות אינה הקריטריון היחיד לקבלת תיאוריה: כפי שאמרתי בתחילה, הפילוסוף אינו מחוייב אפילו לא לתיאוריה הפשוטה ביותר - אבל גם המדען אינו מחוייב לה (וזה טענתי לאחר שאמרת שהפילוסוף והמדען צריכים "להגיע אל האמת הפשוטה ביותר"). משם הגענו לכל הדיון על המדעים.
בדוגמה שלך, על אדם נטול חושים, אתה תולה את קיום האדם עבורנו (ולא עבורו) בקיום חושיו - ולא כך הוא. ברור שעבורנו הוא קיים (שוב, בהנחה שאנחנו מקבלים את קיומו של עולם חיצון). ישנה שאלה נפרדת - האם הוא קיים עבורנו כסובייקט או כאובייקט - שאלה מורכבת ומעניינת בפני עצמה, אבל אני לא חושב שהיא מעניינו כרגע. עבורו הוא קיים כסובייקט אם הוא מקיים רמה מספקת של מודעות עצמית, המאפשרת לו להתייחס לעצמו כאני אחראי. אובייקט אינו קיים עבור עצמו (או יותר נכון, אין מובן בו ניתן לדבר על קיום של אובייקט עבור עצמו). מכל מקום, גם הדוגמה הזו מניחה כבר קיום של עולם חיצון. באשר למתמטיקה - האם טענתך בדבר קיומם של מספרים מרוכבים קודם העיסוק המתמטי בהם לא תומכת דווקא בהיות המתמטיקה מדע ולא שפה? לפי הבנתי, אתה למעשה אומר שקיימים ישים מתמטיים והמתמטיקה היא מדע שחוקר אותם. עדיין לא הצלחתי להבין מה לא עיקבי בתחזית אסטרולוגית? האם מי שטוען שכשמרקורי נמצא במפה שלי בנסיגה יהיו לי בעיות תקשורת לא יטען כך תמיד, באשר לכל מפה אסטרולוגית שיערוך (אני סתם זורק לשם הטיעון, אין לי מושג מה המשמעות האסטרולוגית של נסיגה של מרקורי). טענה כזו נראת לי, עקרונית, כניתנת להפרכה (וברוב הפעמים שהסתכלתי בטורים אסטרולוגים, התחזיות שם היו מנוסחות באופן הניתן להפרכה). אם נשוב לאלוהים - כאמור, הוא אינו תיאוריה מדעית רק אם אתה מקבל את הקריטריון של פופר להיות תיאוריה מדעית. הוא תיאוריה מדעית טובה, אם אתה מקבל את התער של אוקהם כקריטריון לאיכותה של תיאוריה (לאוקהם ולפופר היו מושגי מדע שונים מאוד). הוא תיאוריה מדעית גרועה אם אתה מבקש שתיאוריה מדעית תהיה אינפורמטיבית ותספק גם חיזויים - ולא מסתפק רק באמיתיות ובפשטות. וזו כל הסיבה שהוא הוכנס לדיון - להראות שפשטות אינה הקריטריון היחיד לקבלת תיאוריה: כפי שאמרתי בתחילה, הפילוסוף אינו מחוייב אפילו לא לתיאוריה הפשוטה ביותר - אבל גם המדען אינו מחוייב לה (וזה טענתי לאחר שאמרת שהפילוסוף והמדען צריכים "להגיע אל האמת הפשוטה ביותר"). משם הגענו לכל הדיון על המדעים.
העניין של פשוט ומורכב הוא מסובך
לך תיאוריה כלשהי תראה כפשוטה ולי היא תראה מורכבת ולהפך. למרות זאת יש איזושהי הסכמה שתיאוריה מדעית פשוטה היא תיאוריה שלא מניחה מספר גדול של הנחות וכך אני חושב גם הפילוסוף צריך לשאוף לכך (למרות שאצלו האי וודאות גבוהה יותר באשר למציאות). אולי הייתי צריך להקליד שהם צריכים "לשאוף להגיע אל האמת הפשוטה" (אתה בטוח שבציטוט שלך לא שמטת את המילה "לשאוף", אם לא אז אתה צודק והייתי צריך להוסיף אותה). "בדוגמה שלך, על אדם נטול חושים, אתה תולה את קיום האדם עבורנו (ולא עבורו) בקיום חושיו - ולא כך הוא. ברור שעבורנו הוא קיים (שוב, בהנחה שאנחנו מקבלים את קיומו של עולם חיצון). ישנה שאלה נפרדת - האם הוא קיים עבורנו כסובייקט או כאובייקט - שאלה מורכבת ומעניינת בפני עצמה, אבל אני לא חושב שהיא מעניינו כרגע. עבורו הוא קיים כסובייקט אם הוא מקיים רמה מספקת של מודעות עצמית, המאפשרת לו להתייחס לעצמו כאני אחראי. אובייקט אינו קיים עבור עצמו (או יותר נכון, אין מובן בו ניתן לדבר על קיום של אובייקט עבור עצמו). מכל מקום, גם הדוגמה הזו מניחה כבר קיום של עולם חיצון." אני לא תולה את קיום האדם עבורנו בקיום חושיו אלא התיאוריה הסוליפסטית עושה זאת כאשר היא אומרת שהחומר הוא התפיסות הרוחניות שלנו בלבד. לפי דעתי, אי אפשר להימנע מקיומו של עולם חיצון בשיחתנו (הגעתי להארה זו קצת מאוחר) כי מעצם שיחתנו אני מניח שאתה קיים ומכאן שיש עולם חיצון, האם העובדה כי אני משוחח עם מישהו אחר גם מניחה כי קיים עולם חיצון? "באשר למתמטיקה - האם טענתך בדבר קיומם של מספרים מרוכבים קודם העיסוק המתמטי בהם לא תומכת דווקא בהיות המתמטיקה מדע ולא שפה? לפי הבנתי, אתה למעשה אומר שקיימים ישים מתמטיים והמתמטיקה היא מדע שחוקר אותם." ישים מתמטיים מאיזו בחינה? האם כמו כוס קפה שהיא ישנה? מבחינה מסויימת קיימים ישים מתמטיים כמו ההגדרה של נקודה, אבל להגיד שהיא מדע אינו נכון לגמרי, ולכן אני גורס שחלקה הוא שפה שבה מתארים עצמים וישים מתמטיים כפי שציינת אבל בדרך של חוקים שרירותיים כפי שקיימים בשפה לינגוסטית. יכול להיות שאני מסתכל מהעובדה כי במקרה של הפיזיקה, השפה היא המתמטיקה, ונניח שכמו שהשפה האנגלית משמשת לתיאור העולם החיצון אבל לא מוגבלת רק לתיאור העולם החיצון והיא מתארת גם מחשבות ודברים סוריאליסטיים כך גם המתמטיקה, ניתן לייחס לה חשיבות למציאות אך לא תמיד יש בשפה הזו מושגים מופשטים כמו בשפות לינגוסטיות שאינן ניתנות לאימות מבחינת השכל הישר. בקשר לאסטרולוגיה, הבעיה היא שפעם התחזית תהיה נכונה לגמרי ובפעם הבאה לא נכונה. האם אפשר לפיכך לקבוע כי התיאוריה האסטרולוגית עקבית? העובדה כי לפעמים ניתן להפריכה ולפעמים לאמתה לא מרמזת כי היא חסרת עקביות? תיאוריות מדעיות למירב הבנתי מלבד העובדה כי הן ניתנות להפרכה הן גם עקביות ולא חוזות פעם מאורע כלשהו ונמצא כי התחזית שגויה ובפעם השנייה מאורע אחר ונמצא כי הוא נכון. (האמת קצת נמאס לי לחזור על עצמי כאן בקשר לאסטרולוגיה...).
לך תיאוריה כלשהי תראה כפשוטה ולי היא תראה מורכבת ולהפך. למרות זאת יש איזושהי הסכמה שתיאוריה מדעית פשוטה היא תיאוריה שלא מניחה מספר גדול של הנחות וכך אני חושב גם הפילוסוף צריך לשאוף לכך (למרות שאצלו האי וודאות גבוהה יותר באשר למציאות). אולי הייתי צריך להקליד שהם צריכים "לשאוף להגיע אל האמת הפשוטה" (אתה בטוח שבציטוט שלך לא שמטת את המילה "לשאוף", אם לא אז אתה צודק והייתי צריך להוסיף אותה). "בדוגמה שלך, על אדם נטול חושים, אתה תולה את קיום האדם עבורנו (ולא עבורו) בקיום חושיו - ולא כך הוא. ברור שעבורנו הוא קיים (שוב, בהנחה שאנחנו מקבלים את קיומו של עולם חיצון). ישנה שאלה נפרדת - האם הוא קיים עבורנו כסובייקט או כאובייקט - שאלה מורכבת ומעניינת בפני עצמה, אבל אני לא חושב שהיא מעניינו כרגע. עבורו הוא קיים כסובייקט אם הוא מקיים רמה מספקת של מודעות עצמית, המאפשרת לו להתייחס לעצמו כאני אחראי. אובייקט אינו קיים עבור עצמו (או יותר נכון, אין מובן בו ניתן לדבר על קיום של אובייקט עבור עצמו). מכל מקום, גם הדוגמה הזו מניחה כבר קיום של עולם חיצון." אני לא תולה את קיום האדם עבורנו בקיום חושיו אלא התיאוריה הסוליפסטית עושה זאת כאשר היא אומרת שהחומר הוא התפיסות הרוחניות שלנו בלבד. לפי דעתי, אי אפשר להימנע מקיומו של עולם חיצון בשיחתנו (הגעתי להארה זו קצת מאוחר) כי מעצם שיחתנו אני מניח שאתה קיים ומכאן שיש עולם חיצון, האם העובדה כי אני משוחח עם מישהו אחר גם מניחה כי קיים עולם חיצון? "באשר למתמטיקה - האם טענתך בדבר קיומם של מספרים מרוכבים קודם העיסוק המתמטי בהם לא תומכת דווקא בהיות המתמטיקה מדע ולא שפה? לפי הבנתי, אתה למעשה אומר שקיימים ישים מתמטיים והמתמטיקה היא מדע שחוקר אותם." ישים מתמטיים מאיזו בחינה? האם כמו כוס קפה שהיא ישנה? מבחינה מסויימת קיימים ישים מתמטיים כמו ההגדרה של נקודה, אבל להגיד שהיא מדע אינו נכון לגמרי, ולכן אני גורס שחלקה הוא שפה שבה מתארים עצמים וישים מתמטיים כפי שציינת אבל בדרך של חוקים שרירותיים כפי שקיימים בשפה לינגוסטית. יכול להיות שאני מסתכל מהעובדה כי במקרה של הפיזיקה, השפה היא המתמטיקה, ונניח שכמו שהשפה האנגלית משמשת לתיאור העולם החיצון אבל לא מוגבלת רק לתיאור העולם החיצון והיא מתארת גם מחשבות ודברים סוריאליסטיים כך גם המתמטיקה, ניתן לייחס לה חשיבות למציאות אך לא תמיד יש בשפה הזו מושגים מופשטים כמו בשפות לינגוסטיות שאינן ניתנות לאימות מבחינת השכל הישר. בקשר לאסטרולוגיה, הבעיה היא שפעם התחזית תהיה נכונה לגמרי ובפעם הבאה לא נכונה. האם אפשר לפיכך לקבוע כי התיאוריה האסטרולוגית עקבית? העובדה כי לפעמים ניתן להפריכה ולפעמים לאמתה לא מרמזת כי היא חסרת עקביות? תיאוריות מדעיות למירב הבנתי מלבד העובדה כי הן ניתנות להפרכה הן גם עקביות ולא חוזות פעם מאורע כלשהו ונמצא כי התחזית שגויה ובפעם השנייה מאורע אחר ונמצא כי הוא נכון. (האמת קצת נמאס לי לחזור על עצמי כאן בקשר לאסטרולוגיה...).
that's me in the corner
ראשית לטפלים ואחר כך לנושא העיקרי: ויליאם אוקהם דיבר על פשטות כהנחה של מינימום של ישים. כך שעל פי התער של אוקהם (אף שלא נוסח ממש על ידו) תיאוריה היא פשוטה יותר, וטובה יותר, כשהיא מניחה מינימום ישים לצורך הסבר של תופעה. כשאתה מדבר על "לשאוף לאמת הפשוטה" אתה מניח שהאמת היא בהכרח פשוטה? או שאולי יש יותר מאמת אחת, ועלינו לזנוח את אלה המורכבות יותר? או שאולי פשוט התכוונת, כמו אוקהם, שעלינו להעדיף את ההסבר שמניח את מספר הישים המועט ביותר, משום שאת האמת כשלעצמה לא נדע לעולם? באשר לאסטרולוגיה - אם היית נתקל בתיאוריה מדעית שלעיתים מצליחה לספק חיזויים טובים ולעיתים לא, האם לא היית זונח אותה? מדוע לא לנהוג באסטרולוגיה באותו האופן? אם האסטרולוגיה מנסחת חיזויים לעיתים מוצלחים ולעיתים לא, ברמה שאינה עולה על ניחוש, האם אין זה אומר שהיא עונה על קריטריון המדעיות (כלומר, ניתן להפריכה) אך היא מופרכת? (אם נמאס לך, עזוב, זה באמת לא העיקר). והמתמטיקה - אתה טענת שהמספרים המרוכבים היו קיימים עוד לפני שהחלו לעסוק בהם במתמטיקה. לי זה נשמע כמו מאפיין של יש שאינו תלוי בחוקר (בניגוד למונח בשפה, התלוי לקיומו בכך שימציאו אותו). יתרה מכך - המתמטיקה לא סתם נוקבת בשמות של ישים כאלה, היא חוקרת אותם, בוחנת את התכונות שלהם ואת היחסים ביניהם. הדבר הזה, כך נראה לי, מוציא את המתמטיקה מהיות רק שפה. יש לה עולם מושגים משלה (כמו לכל תחום ידע), אך גם ידיעות לא לשוניות. ועכשיו לעיקר: הסולפסיזם אינו תולה את קיומו של אדם בחושיו. אני קיים. זו עובדה שלא ניתן להתכחש לה (כמובן שניתן במובן מסויים, אבל לא נכנס לזה עכשיו). רק כשאני אומר אני, אני לא מתכוון לכך שגופי ממשי. קח לדוגמה קטוע גפיים, שעדיין חש שגפו הקטוע מחוברת לגופו: הוא מרגשי בה כאבים על אף שאינה קיימת כלל. עכשיו דמיין אדם ללא גוף כלל. לא אדם שהיה לא גוף בעבר, אלא אדם שמלכתחילה חסר גוף (ולמעשה - אדם ללא עולם). כל מה שיש זו תודעה ותודעה אחת בלבד. זו התמונה של הסולפסיסט. אני לא רואה כיצד מכאן החוש הופך לקריטריון לקיום. הוויכוח אפשרי גם לסולפסיסט. רק שהוא אינו רואה בכך קיומו של ויכוח עם יש אחר מלבדו. אני, כך מסתבר, מתווכח עם מחזות שווא שעולים לנגד עיני רוחי. משוגע? אולי. לא נורמלי? דווקא מאוד נורמלי, היות ואני היחיד שקיים. למה לעשות זאת? זו כבר שאלה פסיכולוגית - אולי אני פשוט נהנה?
ראשית לטפלים ואחר כך לנושא העיקרי: ויליאם אוקהם דיבר על פשטות כהנחה של מינימום של ישים. כך שעל פי התער של אוקהם (אף שלא נוסח ממש על ידו) תיאוריה היא פשוטה יותר, וטובה יותר, כשהיא מניחה מינימום ישים לצורך הסבר של תופעה. כשאתה מדבר על "לשאוף לאמת הפשוטה" אתה מניח שהאמת היא בהכרח פשוטה? או שאולי יש יותר מאמת אחת, ועלינו לזנוח את אלה המורכבות יותר? או שאולי פשוט התכוונת, כמו אוקהם, שעלינו להעדיף את ההסבר שמניח את מספר הישים המועט ביותר, משום שאת האמת כשלעצמה לא נדע לעולם? באשר לאסטרולוגיה - אם היית נתקל בתיאוריה מדעית שלעיתים מצליחה לספק חיזויים טובים ולעיתים לא, האם לא היית זונח אותה? מדוע לא לנהוג באסטרולוגיה באותו האופן? אם האסטרולוגיה מנסחת חיזויים לעיתים מוצלחים ולעיתים לא, ברמה שאינה עולה על ניחוש, האם אין זה אומר שהיא עונה על קריטריון המדעיות (כלומר, ניתן להפריכה) אך היא מופרכת? (אם נמאס לך, עזוב, זה באמת לא העיקר). והמתמטיקה - אתה טענת שהמספרים המרוכבים היו קיימים עוד לפני שהחלו לעסוק בהם במתמטיקה. לי זה נשמע כמו מאפיין של יש שאינו תלוי בחוקר (בניגוד למונח בשפה, התלוי לקיומו בכך שימציאו אותו). יתרה מכך - המתמטיקה לא סתם נוקבת בשמות של ישים כאלה, היא חוקרת אותם, בוחנת את התכונות שלהם ואת היחסים ביניהם. הדבר הזה, כך נראה לי, מוציא את המתמטיקה מהיות רק שפה. יש לה עולם מושגים משלה (כמו לכל תחום ידע), אך גם ידיעות לא לשוניות. ועכשיו לעיקר: הסולפסיזם אינו תולה את קיומו של אדם בחושיו. אני קיים. זו עובדה שלא ניתן להתכחש לה (כמובן שניתן במובן מסויים, אבל לא נכנס לזה עכשיו). רק כשאני אומר אני, אני לא מתכוון לכך שגופי ממשי. קח לדוגמה קטוע גפיים, שעדיין חש שגפו הקטוע מחוברת לגופו: הוא מרגשי בה כאבים על אף שאינה קיימת כלל. עכשיו דמיין אדם ללא גוף כלל. לא אדם שהיה לא גוף בעבר, אלא אדם שמלכתחילה חסר גוף (ולמעשה - אדם ללא עולם). כל מה שיש זו תודעה ותודעה אחת בלבד. זו התמונה של הסולפסיסט. אני לא רואה כיצד מכאן החוש הופך לקריטריון לקיום. הוויכוח אפשרי גם לסולפסיסט. רק שהוא אינו רואה בכך קיומו של ויכוח עם יש אחר מלבדו. אני, כך מסתבר, מתווכח עם מחזות שווא שעולים לנגד עיני רוחי. משוגע? אולי. לא נורמלי? דווקא מאוד נורמלי, היות ואני היחיד שקיים. למה לעשות זאת? זו כבר שאלה פסיכולוגית - אולי אני פשוט נהנה?
זו בדיוק הבעיה
התמונה שהבאת כאן: "עכשיו דמיין אדם ללא גוף כלל. לא אדם שהיה לא גוף בעבר, אלא אדם שמלכתחילה חסר גוף (ולמעשה - אדם ללא עולם)." קצת קשה לדמיין כי עובדה היא שאני רואה במראה גוף כלשהו, מה שבטוח התפיסה הזו לא אינטואיטבית בכלל. ד"א האם לתפיסה זו יש תכלית לאותה תודעה כלל עולמית? (ועוד משהו עכשיו אני מרגיש שאין הבדל מהותי בין התפיסה הסולפיסטית של יוון העתיקה לבין תפיסת האלהים של הדתות.). בקשר לשפה, המונח אכן צריך מישהו שיגדיר אותו אבל כך גם במתמטיקה אף אחד לא הגדיר את אותם ישים (במספרים מורכבים) עד שבאו והגדירו מונח חדש ואיתו מערכת מספרים חדשים הוא היה קיים אבל היה צריך להגדיר אותו בשפה המתמטית.
התמונה שהבאת כאן: "עכשיו דמיין אדם ללא גוף כלל. לא אדם שהיה לא גוף בעבר, אלא אדם שמלכתחילה חסר גוף (ולמעשה - אדם ללא עולם)." קצת קשה לדמיין כי עובדה היא שאני רואה במראה גוף כלשהו, מה שבטוח התפיסה הזו לא אינטואיטבית בכלל. ד"א האם לתפיסה זו יש תכלית לאותה תודעה כלל עולמית? (ועוד משהו עכשיו אני מרגיש שאין הבדל מהותי בין התפיסה הסולפיסטית של יוון העתיקה לבין תפיסת האלהים של הדתות.). בקשר לשפה, המונח אכן צריך מישהו שיגדיר אותו אבל כך גם במתמטיקה אף אחד לא הגדיר את אותם ישים (במספרים מורכבים) עד שבאו והגדירו מונח חדש ואיתו מערכת מספרים חדשים הוא היה קיים אבל היה צריך להגדיר אותו בשפה המתמטית.
מזלזל קטן ונידח צומח לו עץ לתפארת
אני יודע שקשה לדמיין שאין לך גוף. אני יודע גם שזה לא "אינטואיטיבי" בכלל. אולי בגלל זה דקרט נאלץ להקדיש לכך יום שלם בהגיונות שלו (כל הפרק הראשון). בכל אופן, אני לא רואה בכך פסול. יש משהו בהשוואה בין סולפסיזם לבין אלוהים הכל יכול של הדתות המונותאיסטיות. רק שבתפישה הסופלסיסטית (לאו דווקא של יוון העתיקה) אני הוא האלוהים הכל יכול, יחיד ומיוחד, שאין אחר מלבדי. אם תרצה, ספקנות כזו היא, למעשה, סוג של מגלומניה פילוסופית. זה עדיין לא אומר שאין משהו מועיל בהתמודדות איתה. באשר למתמטיקה - לכן טענתי שהמתמטיקה היא גם שפה, אבל לא רק. אם הישים המתמטיים הם משהו שקיים, לטענתך, טרם ההגדרה, והמתמטיקה עושה יותר מאשר להתאים לאותם ישים מצלולים שיאפשרו לדבר עליהם - הרי שלשיטתך המתמטיקה היא יותר משפה. היא כבר תחום עיון או מדע.
אני יודע שקשה לדמיין שאין לך גוף. אני יודע גם שזה לא "אינטואיטיבי" בכלל. אולי בגלל זה דקרט נאלץ להקדיש לכך יום שלם בהגיונות שלו (כל הפרק הראשון). בכל אופן, אני לא רואה בכך פסול. יש משהו בהשוואה בין סולפסיזם לבין אלוהים הכל יכול של הדתות המונותאיסטיות. רק שבתפישה הסופלסיסטית (לאו דווקא של יוון העתיקה) אני הוא האלוהים הכל יכול, יחיד ומיוחד, שאין אחר מלבדי. אם תרצה, ספקנות כזו היא, למעשה, סוג של מגלומניה פילוסופית. זה עדיין לא אומר שאין משהו מועיל בהתמודדות איתה. באשר למתמטיקה - לכן טענתי שהמתמטיקה היא גם שפה, אבל לא רק. אם הישים המתמטיים הם משהו שקיים, לטענתך, טרם ההגדרה, והמתמטיקה עושה יותר מאשר להתאים לאותם ישים מצלולים שיאפשרו לדבר עליהם - הרי שלשיטתך המתמטיקה היא יותר משפה. היא כבר תחום עיון או מדע.
תפיסה אגואיסטית משהו, לא?
ואני רואה בכך פסול מכיוון שהתפיסה אומרת שכל מה שקיים הוא בעצם אני, מכאן שמה שאני מדמיין בחלום או במציאות הוא אמיתי מבחינתי ומה שלא נכנס לתחום הזה לא קיים מבחינתי. מכאן שאנו באים לסתירה. התפיסה הסוליפסטית מניחה כי העולם הוא "אני" ומניחה כי ה"אני" יכול להיות מעבר לגבולות עולמנו הפיזי, דבר שה"אני" עצמו לא מסוגל לדמיין לעצמו. בקשר למתמטיקה, האם ישים לינגוסטיים קיימים בפני עצמם? לפי דעתי הישים המתמטיים, הם ישים מחשבתיים/לוגיים שנמצאים בראשנו (אם מצפייה מהטבע או ע"י השכל בלבד) ואחרי כן מוצגים בנייר או בתקשורת ווקלית ע"י המתמטיקה. לפי דעתי המתמטיקה מציגה את הישים הללו בדרך אשר קוהרנטית לאדם. אולי העובדה כי החוקרים המתמטיים נבדלים מחוקרי לשונות בכך שהשפה שהם חוקרים אינה חייבת לתת מענה למציאות הקיימת כפי ששפות לינגוסטיות צריכות לעשות. אני מבדיל את המתמטיקה ממדע מהעובדה שלא כמו המדע, למתמטיקה אין בכוונתה לתת פרשנות למצב הקיים כפי שהמדע מנסה אלא לתאר הגיגים מחשבתיים גרידא, אולי קצת יותר משפה אבל לא מדע.
ואני רואה בכך פסול מכיוון שהתפיסה אומרת שכל מה שקיים הוא בעצם אני, מכאן שמה שאני מדמיין בחלום או במציאות הוא אמיתי מבחינתי ומה שלא נכנס לתחום הזה לא קיים מבחינתי. מכאן שאנו באים לסתירה. התפיסה הסוליפסטית מניחה כי העולם הוא "אני" ומניחה כי ה"אני" יכול להיות מעבר לגבולות עולמנו הפיזי, דבר שה"אני" עצמו לא מסוגל לדמיין לעצמו. בקשר למתמטיקה, האם ישים לינגוסטיים קיימים בפני עצמם? לפי דעתי הישים המתמטיים, הם ישים מחשבתיים/לוגיים שנמצאים בראשנו (אם מצפייה מהטבע או ע"י השכל בלבד) ואחרי כן מוצגים בנייר או בתקשורת ווקלית ע"י המתמטיקה. לפי דעתי המתמטיקה מציגה את הישים הללו בדרך אשר קוהרנטית לאדם. אולי העובדה כי החוקרים המתמטיים נבדלים מחוקרי לשונות בכך שהשפה שהם חוקרים אינה חייבת לתת מענה למציאות הקיימת כפי ששפות לינגוסטיות צריכות לעשות. אני מבדיל את המתמטיקה ממדע מהעובדה שלא כמו המדע, למתמטיקה אין בכוונתה לתת פרשנות למצב הקיים כפי שהמדע מנסה אלא לתאר הגיגים מחשבתיים גרידא, אולי קצת יותר משפה אבל לא מדע.
דברים שהאני מסוגל לדמיין
האמנם בעיה? ראשית, התפישה הסולפסיסטית אינה מניחה שהאני יכול להיות מעבר לגבולות עולמנו הפיזי. על מנת להניח הנחה כזו, עליה לקבל תחילה שקיים עולם פיזי. התפישה הסולפסיסטית טוענת שאין עולם (פיזי או אחר) מעבר לגבולות האני. הכל אשליה. אולי קשה לדמיין דבר כזה - אבל לא בלתי אפשרי. אנחנו מכירים (או מדמיינים, תלוי מהיכן אתה מגיע) אנשים ששבויים בתוך עולם הפנטזיה הפנימי שלהם, עד שנכנסו למצב קטטוני ואיבדו כל קשר עם הסביבה. קשה לחשוב שאנחנו כאלה, אבל לא בלתי אפשרי לדמיין את זה. האני עצמו, כך מסתבר, מסוגל לדמיין דברים כאלה. באשר למתמטיקה: אם הישים המתמטיים נמצאים ממש (ועוד קודם לגילויים - כפי שטענת), הרי שהמתמטיקה כן מכוונת לתת פרשנות למצב הקיים. מדובר בדברים קיימים שהיא מנסה לתאר.
האמנם בעיה? ראשית, התפישה הסולפסיסטית אינה מניחה שהאני יכול להיות מעבר לגבולות עולמנו הפיזי. על מנת להניח הנחה כזו, עליה לקבל תחילה שקיים עולם פיזי. התפישה הסולפסיסטית טוענת שאין עולם (פיזי או אחר) מעבר לגבולות האני. הכל אשליה. אולי קשה לדמיין דבר כזה - אבל לא בלתי אפשרי. אנחנו מכירים (או מדמיינים, תלוי מהיכן אתה מגיע) אנשים ששבויים בתוך עולם הפנטזיה הפנימי שלהם, עד שנכנסו למצב קטטוני ואיבדו כל קשר עם הסביבה. קשה לחשוב שאנחנו כאלה, אבל לא בלתי אפשרי לדמיין את זה. האני עצמו, כך מסתבר, מסוגל לדמיין דברים כאלה. באשר למתמטיקה: אם הישים המתמטיים נמצאים ממש (ועוד קודם לגילויים - כפי שטענת), הרי שהמתמטיקה כן מכוונת לתת פרשנות למצב הקיים. מדובר בדברים קיימים שהיא מנסה לתאר.
המשך...
כן, זה מה שטענתי בראשית הוויכוח, כי התפיסה הזו בעצם טוענת שהכל אשליה. (מכאן שאנשים מסויימים יכולים להאמין לה בכל נפשם). "באשר למתמטיקה: אם הישים המתמטיים נמצאים ממש (ועוד קודם לגילויים - כפי שטענת), הרי שהמתמטיקה כן מכוונת לתת פרשנות למצב הקיים. מדובר בדברים קיימים שהיא מנסה לתאר." ומה התפקוד של השפה האנגלית אם לא...? לצערי, אני חושב שאתה חושב שאני מביא דוגמאות לכך שהיא מדע ואח"כ בדבריך אני מוצא משפטים שבעצם מתארים את התפקוד של שפות לינגוסטיות, כך שאני חושב שלא נגיע להסכמה כאן.
כן, זה מה שטענתי בראשית הוויכוח, כי התפיסה הזו בעצם טוענת שהכל אשליה. (מכאן שאנשים מסויימים יכולים להאמין לה בכל נפשם). "באשר למתמטיקה: אם הישים המתמטיים נמצאים ממש (ועוד קודם לגילויים - כפי שטענת), הרי שהמתמטיקה כן מכוונת לתת פרשנות למצב הקיים. מדובר בדברים קיימים שהיא מנסה לתאר." ומה התפקוד של השפה האנגלית אם לא...? לצערי, אני חושב שאתה חושב שאני מביא דוגמאות לכך שהיא מדע ואח"כ בדבריך אני מוצא משפטים שבעצם מתארים את התפקוד של שפות לינגוסטיות, כך שאני חושב שלא נגיע להסכמה כאן.
you are not me
אין לי שום בעיה עם חוסר הסכמה. רק שאני מעדיף, אם בא לך, לנסות ולברר על מה בדיוק אנחנו לא מסכימים. האם אנחנו תופסים שפה באופן שונה? האם אנחנו מבינים את מה שעושה המתמטיקה באופן שונה? למה ממה שטענתי אינך מסכים, ובמה הוא שונה מהמושגים שלך? באשר לציטוט שלי שהבאת - אתה חייב לשים לב בתשובה למה הוא נאמר, אחרת אתה פשוט מוציאו מהקשר. אתה אמרת: " אני מבדיל את המתמטיקה ממדע מהעובדה שלא כמו המדע, למתמטיקה אין בכוונתה לתת פרשנות למצב הקיים כפי שהמדע מנסה אלא לתאר הגיגים מחשבתיים גרידא, אולי קצת יותר משפה אבל לא מדע." כלומר, אם הבנתי אותך נכון, מה שמבדיל מתמטיקה ממדע הוא שהמתמטיקה מתארת ישים מחשבתיים גרידא, להבדיל מישים בעלי ממשות נפרד מהסובייקט המתאר אותן, בעוד המדע מתאר מצב קיים ממש. לכך עניתי, שאם הישים המתמטיים נמצאים ממש (ואתה הרי היית זה שטענת שמספרים המרוכבים היו קיימים עוד לפני שהתחילו לעסוק בהם - כלומר, שקיומם של ישים מתמטיים אינו תלוי בסובייקט שעוסק בהם ולכן ממשי), הרי שההבדל שציינת בין מתמטיקה למדע אינו קיים - המתמטיקה כן מכוונת לתת פרשנות למצב קיים (בניגוד למה שאמרת).
אין לי שום בעיה עם חוסר הסכמה. רק שאני מעדיף, אם בא לך, לנסות ולברר על מה בדיוק אנחנו לא מסכימים. האם אנחנו תופסים שפה באופן שונה? האם אנחנו מבינים את מה שעושה המתמטיקה באופן שונה? למה ממה שטענתי אינך מסכים, ובמה הוא שונה מהמושגים שלך? באשר לציטוט שלי שהבאת - אתה חייב לשים לב בתשובה למה הוא נאמר, אחרת אתה פשוט מוציאו מהקשר. אתה אמרת: " אני מבדיל את המתמטיקה ממדע מהעובדה שלא כמו המדע, למתמטיקה אין בכוונתה לתת פרשנות למצב הקיים כפי שהמדע מנסה אלא לתאר הגיגים מחשבתיים גרידא, אולי קצת יותר משפה אבל לא מדע." כלומר, אם הבנתי אותך נכון, מה שמבדיל מתמטיקה ממדע הוא שהמתמטיקה מתארת ישים מחשבתיים גרידא, להבדיל מישים בעלי ממשות נפרד מהסובייקט המתאר אותן, בעוד המדע מתאר מצב קיים ממש. לכך עניתי, שאם הישים המתמטיים נמצאים ממש (ואתה הרי היית זה שטענת שמספרים המרוכבים היו קיימים עוד לפני שהתחילו לעסוק בהם - כלומר, שקיומם של ישים מתמטיים אינו תלוי בסובייקט שעוסק בהם ולכן ממשי), הרי שההבדל שציינת בין מתמטיקה למדע אינו קיים - המתמטיקה כן מכוונת לתת פרשנות למצב קיים (בניגוד למה שאמרת).
האם יש מובן לדבר על משהו כאשר עדיין
לא הגדרנו אותו? המתמטיקה יכולה לתת פרשנות למצב הקיים, אבל אז היא מן הסתם תשמש את מדעי הטבע כמודל, ואני מדבר על המכלול של המתמטיקה העיונית שנחשבת כשפה. ההגדרה של מספרים מרוכבים וכל הטיפול בהם לא היה קיים לפני שהתחילו להגדיר אותם, וכאן נשאלת מהו ממשי? המתמטיקאים לא התייחסו לשורשים שליליים אז מבחינתם הוא לא היה קיים פשוט התעלמו ממנו, אבל כשחשבו לטפל בהם והגדירו אותם בעצם עשו פעולה של שפה לינגוסטית, דבר שהיה קיים ולא היה ידוע לנו ועכשיו התגלה (מבחינה תפיסתית) קיבל מונח לשוני/הברתי, אותו הדבר גם במתמטיקה (אמנם שונה מהבחינה הזו שהשורש השלילי היה ידוע אבל פשוט לא הגדירו אותו). ד"א חיפשתי מתוך התעניינות באנציקלופדית בריטניקה לנוער וגם שם הדעות חלוקות באשר לטיבה של המתמטיקה. פעם הכותב משתמש לתארה כמדע ופעם כשפה.
לא הגדרנו אותו? המתמטיקה יכולה לתת פרשנות למצב הקיים, אבל אז היא מן הסתם תשמש את מדעי הטבע כמודל, ואני מדבר על המכלול של המתמטיקה העיונית שנחשבת כשפה. ההגדרה של מספרים מרוכבים וכל הטיפול בהם לא היה קיים לפני שהתחילו להגדיר אותם, וכאן נשאלת מהו ממשי? המתמטיקאים לא התייחסו לשורשים שליליים אז מבחינתם הוא לא היה קיים פשוט התעלמו ממנו, אבל כשחשבו לטפל בהם והגדירו אותם בעצם עשו פעולה של שפה לינגוסטית, דבר שהיה קיים ולא היה ידוע לנו ועכשיו התגלה (מבחינה תפיסתית) קיבל מונח לשוני/הברתי, אותו הדבר גם במתמטיקה (אמנם שונה מהבחינה הזו שהשורש השלילי היה ידוע אבל פשוט לא הגדירו אותו). ד"א חיפשתי מתוך התעניינות באנציקלופדית בריטניקה לנוער וגם שם הדעות חלוקות באשר לטיבה של המתמטיקה. פעם הכותב משתמש לתארה כמדע ופעם כשפה.
מובן בו מתמטיקה היא מדע
אבל המתמטיקה עושה מעבר ללתת שמות לישים מתמטיים. היא גם בוחנת את היחסים ביניהם. העברית נותנת שמות לעץ ומכונית - אבל לא בוחנת את היחסים ביניהם. לכל היותר היא נותנת שמות ליחסים הללו במבנה תחבירי ("המכונית נכנסה בעץ") אבל מה קרה ממש בין המכונית לעץ - את זה היא לא בוחנת. אם המתמטיקה היא שפה בלבד, אז הביטוי 8/4=2 הוא כינוי בשם בלבד. לא השתמשת במתמטיקה בשביל להגיע מצד אחד של המשוואה לצד השני שלה, אלא השתמשת במתמטיקה רק בשביל לתאר את היחס. לפיכך, מבחינת המתמטיקה היה נכון באותה מידה לכתוב 4/8=2 (כפי שבעברית נכון לכתוב ש"העץ נכנס במכונית"). אם כך הדבר, ישנו מדע אחר באמצעות אתה קובע ש 8/4=2 נכון יותר מ 4/8=2. ומהו המדע הזה? נראה לי שמכאן יוצא, שהמתמטיקה איננה שפה בלבד.
אבל המתמטיקה עושה מעבר ללתת שמות לישים מתמטיים. היא גם בוחנת את היחסים ביניהם. העברית נותנת שמות לעץ ומכונית - אבל לא בוחנת את היחסים ביניהם. לכל היותר היא נותנת שמות ליחסים הללו במבנה תחבירי ("המכונית נכנסה בעץ") אבל מה קרה ממש בין המכונית לעץ - את זה היא לא בוחנת. אם המתמטיקה היא שפה בלבד, אז הביטוי 8/4=2 הוא כינוי בשם בלבד. לא השתמשת במתמטיקה בשביל להגיע מצד אחד של המשוואה לצד השני שלה, אלא השתמשת במתמטיקה רק בשביל לתאר את היחס. לפיכך, מבחינת המתמטיקה היה נכון באותה מידה לכתוב 4/8=2 (כפי שבעברית נכון לכתוב ש"העץ נכנס במכונית"). אם כך הדבר, ישנו מדע אחר באמצעות אתה קובע ש 8/4=2 נכון יותר מ 4/8=2. ומהו המדע הזה? נראה לי שמכאן יוצא, שהמתמטיקה איננה שפה בלבד.
תגובה.
"אבל המתמטיקה עושה מעבר ללתת שמות לישים מתמטיים. היא גם בוחנת את היחסים ביניהם. העברית נותנת שמות לעץ ומכונית - אבל לא בוחנת את היחסים ביניהם. לכל היותר היא נותנת שמות ליחסים הללו במבנה תחבירי ("המכונית נכנסה בעץ") אבל מה קרה ממש בין המכונית לעץ - את זה היא לא בוחנת. אם המתמטיקה היא שפה בלבד, אז הביטוי 8/4=2 הוא כינוי בשם בלבד. לא השתמשת במתמטיקה בשביל להגיע מצד אחד של המשוואה לצד השני שלה, אלא השתמשת במתמטיקה רק בשביל לתאר את היחס." המשפט בעברית אין לא מובן אם מישהו לא מבין את הכללים התחביריים של השפה, המשפט מצריך ידיעה מצדו של הקורא. במתמטיקה הביטוי שהבאת הוא ביטוי תחבירי שעל הקורא צריך להבין במלואו את משמעותו. אתה טוען שהמובן 8/4=2 היה יכול להיות שווה למובן 4/8=2 וזה לא נכון מהבחינה התחבירית וגם העובדה איך שהגדרנו בתחביר המתמטי את הסדר בו השתנה. אתה אומר שהמתמטיקה בוחנת את היחסים השונים, ואני אומר שאנו הם אלה אשר בוחנים את היחסים השונים והדרך המוצגת היא במתמטיקה ומכאן שהיא שפה,מודל לתפיסותינו. המתמטיקה מוציאה את היחסים הללו בהפשטה לתיאור מופשט של המציאות. נוכל לתרגם את ה-8/4 כיחס בין פרות ושוורים: בשדה המרעה יש 8 פרות ו-4 שוורים והיא שוב היא פשוט מתארת את היחס הזה במידה מופשטת יותר מאשר להסתכל על העצמים הקיימים והמציאה (כשם שהשפה הלינגוסטית עושה) מונחים כדי לתאר כל דבר, במקרה הזה אפשר להגיד שהיא שפה תמציתית ויעילה לתיאור דברים מופשטים (לא כמו רגשות ומחשבות אבל עדיין מופשטת במידה מסויימת).
"אבל המתמטיקה עושה מעבר ללתת שמות לישים מתמטיים. היא גם בוחנת את היחסים ביניהם. העברית נותנת שמות לעץ ומכונית - אבל לא בוחנת את היחסים ביניהם. לכל היותר היא נותנת שמות ליחסים הללו במבנה תחבירי ("המכונית נכנסה בעץ") אבל מה קרה ממש בין המכונית לעץ - את זה היא לא בוחנת. אם המתמטיקה היא שפה בלבד, אז הביטוי 8/4=2 הוא כינוי בשם בלבד. לא השתמשת במתמטיקה בשביל להגיע מצד אחד של המשוואה לצד השני שלה, אלא השתמשת במתמטיקה רק בשביל לתאר את היחס." המשפט בעברית אין לא מובן אם מישהו לא מבין את הכללים התחביריים של השפה, המשפט מצריך ידיעה מצדו של הקורא. במתמטיקה הביטוי שהבאת הוא ביטוי תחבירי שעל הקורא צריך להבין במלואו את משמעותו. אתה טוען שהמובן 8/4=2 היה יכול להיות שווה למובן 4/8=2 וזה לא נכון מהבחינה התחבירית וגם העובדה איך שהגדרנו בתחביר המתמטי את הסדר בו השתנה. אתה אומר שהמתמטיקה בוחנת את היחסים השונים, ואני אומר שאנו הם אלה אשר בוחנים את היחסים השונים והדרך המוצגת היא במתמטיקה ומכאן שהיא שפה,מודל לתפיסותינו. המתמטיקה מוציאה את היחסים הללו בהפשטה לתיאור מופשט של המציאות. נוכל לתרגם את ה-8/4 כיחס בין פרות ושוורים: בשדה המרעה יש 8 פרות ו-4 שוורים והיא שוב היא פשוט מתארת את היחס הזה במידה מופשטת יותר מאשר להסתכל על העצמים הקיימים והמציאה (כשם שהשפה הלינגוסטית עושה) מונחים כדי לתאר כל דבר, במקרה הזה אפשר להגיד שהיא שפה תמציתית ויעילה לתיאור דברים מופשטים (לא כמו רגשות ומחשבות אבל עדיין מופשטת במידה מסויימת).
יחסי אמת
לא טענתי שהמובנים של 8/4=2 ושל 4/8=2 שווים במתמטיקה אם היא שפה בלבד, אלא שערך האמת שלהם היה שקול - כלומר, מבחינת השפה, סדר האיברים אינו משנה כל עוד הוא תקין מבחינה תחבירית, כפי שבעברית "מכונית נכנסה בעץ" ו"עץ נכנס במכונית" שניהם נכונים ושקולים מבחינת השפה. אמרת שאנחנו בוחנים את היחסים ולא המתמטיקה. אם כך, כיצד נכנה את הפעולה של בחינת היחסים הנעשית על ידנו? מהו תחום העיסוק, שעניינו בבחינת היחסים בין הישים המופשטים הללו? בתשובתך העיסוק המתמטי תלוי כולו בישום שלו. היחס שתיארנו יהיה חסר משמעות במתמטיקה, אם לא היו 4 שוורים ו- 8 פרות אותם הוא מתאר באופן מופשט. תחום העיסוק שעניינו בבחינת היחסים בין ישים מתמטיים הוא רעיית בקר, או פיסיקה, או ביולוגיה וכו' - הכל על פי היישום של הכלים המתמטיים. ומה בנוגע לתחומים מופשטים לחלוטין במתמטיקה, שאין להם כל יישום (לפחות לא כעת)? ובנוגע לעיסוק באותם ישים מופשטים במנותק מהיישום שלו (שהוא עיקר לחמם של העוסקים המתמטיקה טהורה)? האם היחסים הללו חסרים כל ערך אמת, עד שניתן יהיה לישמם בתחומי מדע אחרים?
לא טענתי שהמובנים של 8/4=2 ושל 4/8=2 שווים במתמטיקה אם היא שפה בלבד, אלא שערך האמת שלהם היה שקול - כלומר, מבחינת השפה, סדר האיברים אינו משנה כל עוד הוא תקין מבחינה תחבירית, כפי שבעברית "מכונית נכנסה בעץ" ו"עץ נכנס במכונית" שניהם נכונים ושקולים מבחינת השפה. אמרת שאנחנו בוחנים את היחסים ולא המתמטיקה. אם כך, כיצד נכנה את הפעולה של בחינת היחסים הנעשית על ידנו? מהו תחום העיסוק, שעניינו בבחינת היחסים בין הישים המופשטים הללו? בתשובתך העיסוק המתמטי תלוי כולו בישום שלו. היחס שתיארנו יהיה חסר משמעות במתמטיקה, אם לא היו 4 שוורים ו- 8 פרות אותם הוא מתאר באופן מופשט. תחום העיסוק שעניינו בבחינת היחסים בין ישים מתמטיים הוא רעיית בקר, או פיסיקה, או ביולוגיה וכו' - הכל על פי היישום של הכלים המתמטיים. ומה בנוגע לתחומים מופשטים לחלוטין במתמטיקה, שאין להם כל יישום (לפחות לא כעת)? ובנוגע לעיסוק באותם ישים מופשטים במנותק מהיישום שלו (שהוא עיקר לחמם של העוסקים המתמטיקה טהורה)? האם היחסים הללו חסרים כל ערך אמת, עד שניתן יהיה לישמם בתחומי מדע אחרים?
פילוסופיה מתמטית....
(לכותרת אין דווקא קשר ישיר לתוכן ההודעה). "לא טענתי שהמובנים של 8/4=2 ושל 4/8=2 שווים במתמטיקה אם היא שפה בלבד, אלא שערך האמת שלהם היה שקול - כלומר, מבחינת השפה, סדר האיברים אינו משנה כל עוד הוא תקין מבחינה תחבירית, כפי שבעברית "מכונית נכנסה בעץ" ו"עץ נכנס במכונית" שניהם נכונים ושקולים מבחינת השפה." אבל זהו בדיוק מבחינה תחבירית/מתמטית מה שעשית אינו נכון בשפה עצמה, תוכל להמציא שפה חדשה שתקרא Grimsomaths ובה 4/8=2 והמשפט 8/4=2 אינו נכון, כמובן שתצטרך לשנות את מערכת הסמלים שתתאים לשלך. נקח דוגמא מהשפה העברית, "אני הרסתי את המחשב" השקול לכך במתמטיקה נגיד הוא 8/4=2 עכשיו את המשפט שהבאתי אפשר לשנות לסביל "המחשב נהרס על ידי" השקול יהיה במתמטיקה 8*1/4=2 ולתרגום: המשפט הראשון לקחנו אותו ובעצם הפכנו את 8 המחולק למוכפל אבל המשמעות נשארה כפי שהיא. בקשר לדוגמא שהבאת עם העץ והמכונית האם באמת שני המשפטים נכונים, אני לא חושב שזה המקרה מבחינה מציאותית, כשאתה אומר "העץ נכנס במכונית" אתה בעצם אומר שהעץ ביצע את הפעולה והמכונית הייתה סבילה וזה נגרם לה, בעוד במשפט "המכונית נכנסה בעץ" אתה מניח ההפך, מבחינה תחבירית מה שאמרת כשר אבל מבחינת המשמעות יש שוני (לדעתי לפחות). " אם כך, כיצד נכנה את הפעולה של בחינת היחסים הנעשית על ידנו? מהו תחום העיסוק, שעניינו בבחינת היחסים בין הישים המופשטים הללו? בתשובתך העיסוק המתמטי תלוי כולו בישום שלו." גם פיזיקה היא בעצם בחינת יחסים בין עצמים, רק שהיא פחות מופשטת בכך שהיא תלויה בעצמים עליה היא מדברת בעוד המתמטיקה אתה יכול לתלוש את העצמים הקיימים (לפי התפיסה הסוליפסטית במחשבתנו [מה שמביא אותי לשאלה אחרת, כיצד התפיסה הסוליפסטית מבדילה בין ישים מופשטים כמו ישים מתמטיים לבין ישים פיזיקליים?]) ממנה. אפשר לכנות את הפעולה של בחינת יחסים כחלק מהתהליך המחשבתי שלנו (שד"א משותף לנו וגם לבע"ח אחדים, היכולת למנות עצמים) היומיומי. מתמטיקה אכן עוסקת בבחינת יחסים בין אותם ישים, ואז אנו מגיעים לכך שהיא בעצם כלי, שפה לחקירתם. "הכל על פי היישום של הכלים המתמטיים. ומה בנוגע לתחומים מופשטים לחלוטין במתמטיקה, שאין להם כל יישום (לפחות לא כעת)? ובנוגע לעיסוק באותם ישים מופשטים במנותק מהיישום שלו (שהוא עיקר לחמם של העוסקים המתמטיקה טהורה)? האם היחסים הללו חסרים כל ערך אמת, עד שניתן יהיה לישמם בתחומי מדע אחרים?" אי אפשר לומר כי הגיאומטריה האוקלידית היא אמיתית, אפשר לומר שהיא עקבית, אבל אי אפשר להגיד שהיא נכונה כי כידוע לך יש עוד סוגי גיאומטריות אחרות ששינו לפחות אחת מהאקסיומות של הגיאומטריה האוקלידית והן כבר מגיעות למשפטים שבמערכת האוקלידית לא נכונים כך שלהגיד שיש ערך אמת לסוגיה הנקראת מתמטיקה זה תלוי, יש כ"כ הרבה ענפים בתוכה שחלקם בכלל סותרות אלו את אלו (בדיוק כמו הדוגמא שהבאתי) ואז נשאלת השאלה איזו גיאומטריה אמיתית, ובמתמטיקה לא ניתן לענות על כך.
(לכותרת אין דווקא קשר ישיר לתוכן ההודעה). "לא טענתי שהמובנים של 8/4=2 ושל 4/8=2 שווים במתמטיקה אם היא שפה בלבד, אלא שערך האמת שלהם היה שקול - כלומר, מבחינת השפה, סדר האיברים אינו משנה כל עוד הוא תקין מבחינה תחבירית, כפי שבעברית "מכונית נכנסה בעץ" ו"עץ נכנס במכונית" שניהם נכונים ושקולים מבחינת השפה." אבל זהו בדיוק מבחינה תחבירית/מתמטית מה שעשית אינו נכון בשפה עצמה, תוכל להמציא שפה חדשה שתקרא Grimsomaths ובה 4/8=2 והמשפט 8/4=2 אינו נכון, כמובן שתצטרך לשנות את מערכת הסמלים שתתאים לשלך. נקח דוגמא מהשפה העברית, "אני הרסתי את המחשב" השקול לכך במתמטיקה נגיד הוא 8/4=2 עכשיו את המשפט שהבאתי אפשר לשנות לסביל "המחשב נהרס על ידי" השקול יהיה במתמטיקה 8*1/4=2 ולתרגום: המשפט הראשון לקחנו אותו ובעצם הפכנו את 8 המחולק למוכפל אבל המשמעות נשארה כפי שהיא. בקשר לדוגמא שהבאת עם העץ והמכונית האם באמת שני המשפטים נכונים, אני לא חושב שזה המקרה מבחינה מציאותית, כשאתה אומר "העץ נכנס במכונית" אתה בעצם אומר שהעץ ביצע את הפעולה והמכונית הייתה סבילה וזה נגרם לה, בעוד במשפט "המכונית נכנסה בעץ" אתה מניח ההפך, מבחינה תחבירית מה שאמרת כשר אבל מבחינת המשמעות יש שוני (לדעתי לפחות). " אם כך, כיצד נכנה את הפעולה של בחינת היחסים הנעשית על ידנו? מהו תחום העיסוק, שעניינו בבחינת היחסים בין הישים המופשטים הללו? בתשובתך העיסוק המתמטי תלוי כולו בישום שלו." גם פיזיקה היא בעצם בחינת יחסים בין עצמים, רק שהיא פחות מופשטת בכך שהיא תלויה בעצמים עליה היא מדברת בעוד המתמטיקה אתה יכול לתלוש את העצמים הקיימים (לפי התפיסה הסוליפסטית במחשבתנו [מה שמביא אותי לשאלה אחרת, כיצד התפיסה הסוליפסטית מבדילה בין ישים מופשטים כמו ישים מתמטיים לבין ישים פיזיקליים?]) ממנה. אפשר לכנות את הפעולה של בחינת יחסים כחלק מהתהליך המחשבתי שלנו (שד"א משותף לנו וגם לבע"ח אחדים, היכולת למנות עצמים) היומיומי. מתמטיקה אכן עוסקת בבחינת יחסים בין אותם ישים, ואז אנו מגיעים לכך שהיא בעצם כלי, שפה לחקירתם. "הכל על פי היישום של הכלים המתמטיים. ומה בנוגע לתחומים מופשטים לחלוטין במתמטיקה, שאין להם כל יישום (לפחות לא כעת)? ובנוגע לעיסוק באותם ישים מופשטים במנותק מהיישום שלו (שהוא עיקר לחמם של העוסקים המתמטיקה טהורה)? האם היחסים הללו חסרים כל ערך אמת, עד שניתן יהיה לישמם בתחומי מדע אחרים?" אי אפשר לומר כי הגיאומטריה האוקלידית היא אמיתית, אפשר לומר שהיא עקבית, אבל אי אפשר להגיד שהיא נכונה כי כידוע לך יש עוד סוגי גיאומטריות אחרות ששינו לפחות אחת מהאקסיומות של הגיאומטריה האוקלידית והן כבר מגיעות למשפטים שבמערכת האוקלידית לא נכונים כך שלהגיד שיש ערך אמת לסוגיה הנקראת מתמטיקה זה תלוי, יש כ"כ הרבה ענפים בתוכה שחלקם בכלל סותרות אלו את אלו (בדיוק כמו הדוגמא שהבאתי) ואז נשאלת השאלה איזו גיאומטריה אמיתית, ובמתמטיקה לא ניתן לענות על כך.
תודה על הדיון ו....
עליי להגיד שהדיון הזה (שהוא אינו הכי ממוקד) תרם לי רבות וריענן את סקרנותי בדבר נושא זה (פילוסופיה מתמטית). הנה מה שמצאתי ברשת על מתמטיקה כשפה, זה לא מפתיע כי הלינגוסטים אינם רואים במתמטיקה כשפה לעומת המתמטיקאים שכן. בעיקרון תקרא את הקישוריות הללו ואם יש משהו שאינך מסכים (באתר השני אתה לא חייב להסכים כי הוא "משוחד" בדעתו מפני שהוא מתמטיקאי, אבל הראשון בעיקרון נראה לי כקרוב להיות אובייקטיבי) תודיע.
עליי להגיד שהדיון הזה (שהוא אינו הכי ממוקד) תרם לי רבות וריענן את סקרנותי בדבר נושא זה (פילוסופיה מתמטית). הנה מה שמצאתי ברשת על מתמטיקה כשפה, זה לא מפתיע כי הלינגוסטים אינם רואים במתמטיקה כשפה לעומת המתמטיקאים שכן. בעיקרון תקרא את הקישוריות הללו ואם יש משהו שאינך מסכים (באתר השני אתה לא חייב להסכים כי הוא "משוחד" בדעתו מפני שהוא מתמטיקאי, אבל הראשון בעיקרון נראה לי כקרוב להיות אובייקטיבי) תודיע.
שני האתרים לא שיכנעו אותי
אולי בגלל שהם לא ממש טוענים שמתמטיקה היא שפה (גם אם הם אולי טוענים שהם טוענים שמתמטיקה היא שפה). האתר הראשון מביא מאפיינים שמתמטיקה חולקת עם שפות אחרות (סימנים, קהילה, משמעות וכו'). על כך אין חולק. על מנת לטעון שמתמטיקה היא שפה בלבד עליו להראות גם שהיא אינה עוסקת במה ששפות אינן עוסקות (כמו למשל, להראות שהמתמטיקאי אינו חוקר את הישים אותם הוא מסמן). האתר השני מראה כמה מעלות יש לשפה של המתמטיקה - אך בה בעת מדגים כיצד במשך שנים רבות נעשתה המתמטיקה גם ללא השפה הנהוגה כיום. זה טוב ויפה שלמתמטיקה יש שפה - אך הדבר שונה מאוד מהיות המתמטיקה שפה (לעברים יש שפה - עברית; האם זה אומר שעברים הם שפה?). המשכתי גם לקישור בעמוד זה עם הכותרת המבטיחה Mathematics Is a Language. שוב, לצערי, הציטוטים שהובאו שם הצביעו על כך שיש למתמטיקה שפה נהדרת - אך לא על כך שהמתמטיקה היא רק שפה. הצטוט הראשון של שוורצנברגר (המובא גם הקישור הראשון שהבאת) פותח בהצהרה שהמתמטיקה היא שפה. אולם במשפט האחרון הוא אומר שממש כפי שלא ניתן לכתוב שיר אהבה בשפת המתמטיקה, כך בלתי אפשרי להוכיח תיאורמה בסיסית באלגברה בשפה האנגלית. כלומר, היחס בין השיר לאנגלית הוא כמו היחס בין תיאורמה בסיסית באלגברה לשפת המתמטיקה (אני מצטער אם נשמע כמו שאלה בפסיכומטרי) - כפי שהשפה האנגלית משמשת ככלי בידי המשורר לעשיית דברים החורגים מעבר לצירוף מלים מאוייתות היטב בתחביר תקין (כך ניתן לקוות) כך גם שפת המתמטיקה מאפשרת למתמטיקאי לעשות דברים החורגים מעבר לסתם שימוש נכון בשפה. שניהם משתמשים נכון בשפה - אולם שניהם עושים גם הרבה מעבר לזה. הציטוט השני, של אדלר, מדבר על כך שהמתמטיקה היא שפה נהדרת, אך גם מעבר לשפה - המתמטיקה היא אמנות: "It is also an art - the most intellectual and classical of the arts." הציטוט השלישי מדבר על שפת המתמטיקה. הוא אומר Mathematical language is plainly an authentic language ולא Mathematics is plainly an authentic language.
אולי בגלל שהם לא ממש טוענים שמתמטיקה היא שפה (גם אם הם אולי טוענים שהם טוענים שמתמטיקה היא שפה). האתר הראשון מביא מאפיינים שמתמטיקה חולקת עם שפות אחרות (סימנים, קהילה, משמעות וכו'). על כך אין חולק. על מנת לטעון שמתמטיקה היא שפה בלבד עליו להראות גם שהיא אינה עוסקת במה ששפות אינן עוסקות (כמו למשל, להראות שהמתמטיקאי אינו חוקר את הישים אותם הוא מסמן). האתר השני מראה כמה מעלות יש לשפה של המתמטיקה - אך בה בעת מדגים כיצד במשך שנים רבות נעשתה המתמטיקה גם ללא השפה הנהוגה כיום. זה טוב ויפה שלמתמטיקה יש שפה - אך הדבר שונה מאוד מהיות המתמטיקה שפה (לעברים יש שפה - עברית; האם זה אומר שעברים הם שפה?). המשכתי גם לקישור בעמוד זה עם הכותרת המבטיחה Mathematics Is a Language. שוב, לצערי, הציטוטים שהובאו שם הצביעו על כך שיש למתמטיקה שפה נהדרת - אך לא על כך שהמתמטיקה היא רק שפה. הצטוט הראשון של שוורצנברגר (המובא גם הקישור הראשון שהבאת) פותח בהצהרה שהמתמטיקה היא שפה. אולם במשפט האחרון הוא אומר שממש כפי שלא ניתן לכתוב שיר אהבה בשפת המתמטיקה, כך בלתי אפשרי להוכיח תיאורמה בסיסית באלגברה בשפה האנגלית. כלומר, היחס בין השיר לאנגלית הוא כמו היחס בין תיאורמה בסיסית באלגברה לשפת המתמטיקה (אני מצטער אם נשמע כמו שאלה בפסיכומטרי) - כפי שהשפה האנגלית משמשת ככלי בידי המשורר לעשיית דברים החורגים מעבר לצירוף מלים מאוייתות היטב בתחביר תקין (כך ניתן לקוות) כך גם שפת המתמטיקה מאפשרת למתמטיקאי לעשות דברים החורגים מעבר לסתם שימוש נכון בשפה. שניהם משתמשים נכון בשפה - אולם שניהם עושים גם הרבה מעבר לזה. הציטוט השני, של אדלר, מדבר על כך שהמתמטיקה היא שפה נהדרת, אך גם מעבר לשפה - המתמטיקה היא אמנות: "It is also an art - the most intellectual and classical of the arts." הציטוט השלישי מדבר על שפת המתמטיקה. הוא אומר Mathematical language is plainly an authentic language ולא Mathematics is plainly an authentic language.
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.