לא בדיוק חידה

[clocker]

לא בדיוק חידה

f מקיימת את התכונות הבאות: f מוגדרת על כל הממשיים ו..

f(1)=1​

f שווה לסכום כל הנגזרות שלה

f=f'+f''+f'''+...​

מהי f ?

 

[טלמון סילבר]

דרך לפתרון פורמלי,

שאין לי מושג אם הוא נכון. נגזור את שני האגפים:

f' = f'' + f''' + f'''' + . . . f = f' + f' = 2f' f = Ce^(x/2) 1 = Ce^(1/2) C = e^(-1/2) f = e ^ ((x-1)/2) f' = f/2 f'' = f/2² f''' = f/2³ . . .​

אם זה נכון, אז עדין צריך להסביר - מדוע. האם חוקי לסכם כך טור של פונקציות. כנראה, זה נכון בכל תחום ממשי סופי, כי הטור מתכנס בו במידה שווה, ולכן... נכון גם לכל x.

 

[clocker]

אני לא בטוח אם מותר

מה שאני עשיתי, זה שימוש בפולינום אופייני של משוואה דיפרציאלית לינארית

f=f'+f''+f'''+...​

הופך ל

1=r+r^2+r^3+....​

כעת, בתחום r בין מינוס 1 ל1, מתקיים

1/1-r = 1+r+r^2+r^3+....​

פותרים ומתקבל r=1/2 מה שמביא אותנו לפתרון (e^((x-1)/2 כאשר מתחשבים בתנאיי ההתחלה. אולם, מה קורה מחוץ לרדיוס ההתכנסות ? הביטוי

1+r+r^2+...​

לא מתכנס לשום מספר קבוע, ובטח שלא ל1. אפשר לפרמל קצת את הטיעון הזה ולהגיד שאם

r+r^2+r^3+...​

מתכנס ל0, אז בהכרח r^n שואף ל0, ולכן בשלב מסוים הוא קטן מ1 בערך מוחלט וניתן להשתמש בנוסחא ברדיוס ההתכנסות. ולכן בהכרח r=1/2 הוא הפתרון היחיד, וזהו פתרון הבעיה יחד עם זאת, אני חייב להודות שהפתרון שלך הרבה יותר אלגנטי אבל אני לא בטוח אם הוא חוקי.

 

[טלמון סילבר]

גם אני לא בטוח אם הפתרון שלי

חוקי, אבל הרושם שלי שכן, אבל כנראה צריך להוסיף משהו. למשל, המשוואה מניחה שכל הנגזרות קיימות, בתחום מסוים, ושהטור מתכנס בתחום מסוים. האם ניתן במקרה זה לגזור את שני אגפי השוויון? אם כן, אזי מתקבל התנאי ההכרחי, כלומר הפתרון היחיד האפשרי, ונותר להוכיח שהוא אכן נכון, שהטור מתכנס, והוא כמובן מתכנס עבור כל x.

 

[clocker]

סליחה על התגובה המאוחרת,

נניח שהיה נתון ש f(c)=2 כאשר c=ln(sqrt(2)) zzz

2=f+f'+f''+f'''+...​

אם היינו גוזרים את שני האגפים היינו מקבלים

0=f'+f''+f'''+...​

נציב חזרה ונקבל ש f=2 ואז החמצנו פתרונות כדוגמת f(x)=e^(2x) zzz ואולי אפילו יש עוד פתרון שפספסנו. לכן השיטה הזו קצת בעייתית בעיניי