כפול או חצי

[milloarnon]

כפול או חצי ../images/Emo35.gif

אתה האורח בתוכנית טלוויזיה, המנחה משחק איתך את המשחק הבא: המנחה נותן לך מעטפה המכילה סכום מסוים לא ידוע (A). המנחה מציע לאורח להחליף את הפרס במעטפה שניה שבה נמצא סכום אחר: או 2A או 0.5A בהסתברות שווה. א. האם כדאי לך להסכים להחלפה בלי אפילו להסתכל במעטפה ? ב. אם הסכמת להחלפה בסעיף א. האם לא כדאי להחליף שוב ושוב ? ג. ואם אתה מסתכל בתוכן המעטפה. האם זה משנה את הבחירה שלך ?

 

[עריסטו]

../images/Emo62.gif

אין מספיק נתונים - אנחנו לא יודעים איך המנחה יצר שתי מעטפות המכילות סכומים כאלה: אם הוא בחר שני סכומי כסף A ו-2A ואז החליט באופן אקראי איזה מעטפה לתת לך - וכנראה זה מה שהוא עשה - אין טעם להחליף. אם הוא החליט איזה סכום x לשים במעטפה שיתן לך, ואז הוא החליט באופן אקראי האם לשים במעטפה השניה 2x או x/2 - כדאי להחליף. אחרי זה לא כדאי להחליף שוב - המצב אינו זהה למצב ההתחלתי, כי כאמור המצב ההתחלתי כולל לא רק את סכומי הכסף אלא גם את הדרך בה הם נבחרו.

 

[regit knup]

אני לא מבין מה זה קשור איך הוא נבחר

 

[עריסטו]

הסבר

נחשב בכל אחת מהאפשרויות שנתתי את תוחלת הרווח אם נחליף מעטפות: א. אם הוא בחר שני סכומי כסף A ו-2A ואז החליט באופן אקראי איזה מעטפה לתת לך - יש הסתברות 1/2 שקבלת את המעטפה עם סכום A, ואז אם תחליף תרוויח A; יש הסתברות 1/2 שקבלת את המעטפה עם סכום 2A, ואז אם תחליף תרוויח A-. תוחלת הרווח -

(1/2)A+(1/2)(-A)=0​

ב. אם הוא החליט איזה סכום x לשים במעטפה שיתן לך, ואז הוא החליט באופן אקראי האם לשים במעטפה השניה 2x או x/2 - יש הסתברות 1/2 שבמעטפה האחרת יש 2x, ואז אם תחליף תרוויח x; יש הסתברות 1/2 שבמעטפה האחרת יש x/2, ואז אם תחליף תרוויח x/2-. תוחלת הרווח -

(1/2)x+(1/2)(-x/2)=x/4​

 

[nog16]

אני חושבת...

שזה לא משנה. אם מסתכלים למשל על הרבה נסיונות, אז בסופו של דבר יצא בממוצע, לפי ההסתברות את אותו הסכום, כי אין נתונים נוספים, ולא יודעים אם במעטפה השנייה זה פי 2 פחות או פי 2 יותר.. אוףף, אני לא יודעת להסביר את עצמי כמו שצריך.. אז אל תתיחסו. אני פשוט חושבת שזה לא משנה, וזהו.

 

[milloarnon]

ובכן ../images/Emo127.gif

באופן כללי עריסטו צודק, אולי הוא לא מסביר את עצמו כלכך טוב. מי שמתעניין בבעיה - היא נקראת פרדוקס 2 המעטפות. http://en.wikipedia.org/wiki/Two-envelope_paradox