כמה פתרונות יש

[clocker]

כמה פתרונות יש

כמה פתרונות יש למשוואה zzz 1/x+1/y=1/n zzz (אחד חלקי איקס ועוד אחד חלקי וואי שווה אחד חלקי אן) כאשר x,y,n כולם מספרים טבעיים.

 

[עריסטו]

פתרון

אינסוף

1/2+1/2=1/1 1/4+1/4=1/2 1/6+1/6=1/3 1/8+1/8=1/4 ... 1/2n+1/2n=1/n ...​

 

[netsef]

זה עובד גם אם הכוונה ל-

למקרה שהכוונה הייתה ש-x, y, n הם כולם שונים זה מזה: מקרה פרטי של סדרה אינסופית: 1/3+1/6=1/2 1/12 + 1/6 = 1/4 1/24 + 1/12 = 1/8 .... .... 1/2n = 1/3y+1/6x

 

[טלמון סילבר]

אמנם הפתרון של עריסטו כבר מספיק

בהחלט, אבל אם כבר, אז:

1/n - 1/(n+1) = 1/[n(n+1)] 1/(n+1) + 1/[n(n+1)] = 1/n 1/3 + 1/6 = 1/2 1/4 + 1/12 = 1/3 1/5 + 1/20 = 1/4 1/6 + 1/30 = 1/5 . . .​

 

[clocker]

הכוונה היא שn נתון

 

[clocker]

לא הייתי ברור |x|

המטרה היא למצוא זוג לא סדור {x,y} בהנתן n טבעי

 

[עריסטו]

הצעה לניסוח החידה שלך

למצוא את כל השלשות ה"פרימיטיביות" (x,y,n) (כלומר המחלק המשותף המקסימלי של x,y,n הוא 1) שמקיימות את המשוואה שנתת.

 

[עריסטו]

מצאתי מישהו שדן בשאלה זו

כאן http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/99/2egypt

 

[clocker]

יש פתרון יחסית פשוט

...

 

[טלמון סילבר]

הערות זמניות, ונסיון... ניחוש

דבר ראשון, x ו-y גדולים מ-n. יהי x=n+a

1/y = 1/n - 1/x = 1/n - 1/(n + a) = = a/[n(n + a)]​

והשאלה היא, עבור איזה, ועבור כמה a, ה-a שבמונה יצטמצם. ברור, שהוא יצטמצם עבור כל a שהוא מחלק של n, ובפרט, במקרה של

a = n :נקבל את ההצעה הראשונה של עריסטו 1/2n + 1/2n = 1/n :וכאשר a = 1 :נקבל את מה שאני היצעתי 1/(n+1) + 1/[n(n+1)] = 1/n​

אבל לא רק המחלקים של n נותנים פתרון! מתאים, כלומר יצטמצם, גם a המהווה מחלק של n². נניח ש:

n² = ka :אזי a/[n(n+a)] = a/(n² + an) = a/(ka + an) = 1/(k + n)​

אבל יש לי חשש, שבאופן זה נקבל אותם זוגות! כלומר, במקום זוג מסוים {x,y} נקבל את הזוג {y,x} שזה בעצם אותו הזוג. למשל, אם ניקח:

a = n² :אזי נקבל שוב את הזוג 1/(n+1) + 1/[n(n+1)] = 1/n​

לכן, סופית, הניחוש שלי הוא, שמספר הפתרונות השונים של המשוואה הוא: מספר המחלקים של n² (כולל 1 ו-n²), חלקי 2. אנסה להריץ ולבדוק, למשל, עבור

n = 2³ * 3² * 5 = 360 :שמספר המחלקים שלו שווה (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 :אבל מספר המחלקים של הריבוע שלו שווה (6 + 1)(4 + 1)(2 + 1) = 105​

הנה תפסתי את השגיאה של עצמי

מספר המחלקים של מספר בריבוע הוא אי-זוגי! ואכן, את הפתרון הראשון עם 2n לא צריך "לחלק ל-2". כלומר, אם מספר המחלקים של n² שווה N, אזי מספר הפרונות של המשוואה הוא

(N + 1)/2​

ובדוגמה שהיצגתי זה יוצא 53. אנסה לבדוק.

 

[טלמון סילבר]

בעצם, אני חושב שהתשובה נכונה ../images/Emo62.gif

הפתרון הכללי:

1/x + 1/y = 1/n x > n x = n + a 1/y = 1/n - 1/(n + a) = a/[n(n + a)] n(n + a) | a n² + na | a n² | a​

כלומר, מספר הפתרונות המסודרים (בהם החלפת x ו-y נחשבת לפתרון שונה אם x ו-y אינם שווים) שווה למספר המחלקים של n² (כולל 1 ו-n²), ואם נוסיף 1 למספר זה ונחלק ב-2, יתקבל מספר הפתרונות הבלתי מסודרים (כשהחלפת x ו-y נחשבת לאותו הפתרון).

 

[clocker]

נכון מאוד ../images/Emo127.gif + קיצור דרך

ברור שאין פתרון עבור x וy שאינם גדולים מn. אם מציבים x=n+a,y=n+b נקבל בעזרת קצת אלגברה שהמשוואה המקורית שקולה ל ab=n^2 ועל כן, כל זוג ab שמחלק את n בריבוע נותן את הפתרון. וכולנו יודעים איך אפשר לספור מחלקים של מספר...

 

[טלמון סילבר]

ואללה! עוד יותר טוב!