חיתוך לוח שחמט

[עריסטו]

חיתוך לוח שחמט

האם ניתן לחתוך לוח שחמט ל-15 חלקים בצורת L שכל אחד מהם עשוי מארבע משבצות של הלוח, ועוד ריבוע 2 על 2?

 

[1אברהם]

../images/Emo62.gif

לא ניתן, הוכחה: ניצבע את משבצות את הלוח 8x8 בצורה הבאה - שורה בלבן ושורה אחריה בשחור לסרוגין ( כמו מעבר חציה ). כל חלק מצורת L מכסה 3 משבצות שחורות ואחת לבנה או להיפך, 3 משבצות לבנות ואחת שחורה. והחלק הריבועי מכסה 2 לבנות ו 2 שחורות. אחרי שנשים את הריבוע 2x2 במקום כלשהוא בלוח אז נותר לכסות עם ה L ים את שאר 60 המשבצות, 30 לבנות ו30 שחורות . נניח שיש n חלקי L שמכסים כל אחד 3 לבנות ו 1 שחורה ו m חלקי L שמכסים 3 שחורות ו 1 לבנה. צריכים להתקים המשוואות הבאות:

3*n + m = 30 n + 3*m = 30​

פיתרון המשוואות נותן n=m=7.5 כלומר אנחנו לא יכולים לכסות את 60 המשבצות שנישארו בחלקי L שלמים

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif

 

[srulikbd]

מכיר

עברתי לפני כמה זמן על בעיות צביעה. יש עוד אפשרות להוכיח את זה?

 

[עריסטו]

כן, הוכחתי גם כך

תצייר על הלוח שבעה קווים מאונכים (כל קו מפריד בין שני טורים סמוכים). תוכיח שאם מכסים את הלוח ע"י 32 אבני דומינו שכל אחת מהן מכסה שתי משבצות, מספר האבנים שמונחות על כל קו הוא זוגי. זה אומר שבסך הכל מספר אבני הדומינו שמונחות במאוזן הוא זוגי. אבל אם מחלקים את הלוח כמו שכתבתי בשאלה, כל L מכיל דומינו מאוזן אחד, והריבוע מכיל שתיים (או 0, איך שרוצים) מאוזנות, ו -15+2 (או 15+0) אינו זוגי.

 

[עריסטו]

אגב, יש נוסחה מעניינת

למספר הדרכים לכסות לוח שממדיו M על N על ידי אבני דומינו שכל אחת מכסה שתי משבצות:

(בנוסחה הזו דרכים המתקבלות זו מזו על ידי סיבוב או שיקוף נחשבות שונות.)

 

[גיל14]

אני מניח שבמכפלה צריך

להיות m וn קטנים באיזה מקום?

 

[אלמוני היחידה]

בהחלט ../images/Emo26.gif

עתק בדבק מהאתר של רון עדין.

 

[אלמוני היחידה]

כלומר זה

 

[גיל14]

גם זה לא יוצא ../images/Emo13.gif

 

[גיל14]

הנוסחה של עריסטו מתאימה,

האינדקסים הקטנים מתאימים לנוסחה שלך, אבל הם רצים מ1 ולא מ0.

 

[אלמוני היחידה]

מה גם זה לא יוצא?

נראה לי שהוא תיקן את זה מהשיעור הראשון

 

[עריסטו]

נכון

ה - m וה-n בתוך הסוגריים צריכים להיות קטנים.

 

[עריסטו]

../images/Emo26.gif סליחה, טעות ../images/Emo36.gif

הנה הנוסחה הנכונה:

שימו לב שהנוסחה נכונה גם אם MN אי-זוגי (היא נותנת אפס).

 

[srulikbd]

תודה נחמד! והנוסחא מפחידה, קשה להגי

ע אליה?