חידת ריבוע קסם

[חיים הכט הצדיק]

חידת ריבוע קסם

יש ליצור ריבוע קסם של ארבע ספרות לאורך וארבע ספרות לרוחב של ההמספרים 1-16..... ריבוע הקסם צריך ליצור בכל שורה עמודה ובשתי האלכסונים 34. עם יהיה אפשר להוסיף סרטוט אני ייתן חוץ מהוי על התושב הנכונה גם פרצוף מחייך!

 

[נ פ ו ל י א ו ן]

../images/Emo62.gif וגם הדרך...

מציירים ריבוע של 4X4 ועושים X על האלכסון הראשי והמשני שלו (X אחד גדול: קו לאורך האלכסון הראשי וקו לאורך המשני, ביחד יוצא X). עכשיו עוברים לאורך השורות, משמאל לימין ומלמעלה למטה, וכל משבצת שמתקדמים אומרים את המספר שמתאים לה לפי סדר, החל מ 1 ועד 16: 1, 2, 3, 4, 5, .... כאשר נמצאים על משבצת שמסומנת כחלק מ ה X הגדול (כלומר, על האלכסון הראשי או המשני) אז גם כותבים את המספר על הריבוע, וכאשר לא נמצאים, לא כותבים אבל כן ממשיכים למשבצת הבאה עם המספר הבא. יוצא שכותבים את המספרים: 1,4,6,7,10,11,13,16. כעת עושים "אותו דבר אבל הפוך": מתחילים שוב מהתחלה, אבל יורדים מ 16 ל- 1, וכותבים את המספרים במקומות שעדיין לא כתוב בהם כלום. מתקבל ריבוע הקסם שביקשת

 

[inbaricious]

שאלה...../images/Emo35.gif

איך עלית על זה

 

[חיים הכט הצדיק]

לא ממש הבנתי יש מצב שאתה מסרטט

לי את זה....

 

[נ פ ו ל י א ו ן]

כן, וגם תשובה

בפרה - היסטוריה, כשהייתי בכיתה ז' או ח', למדתי בלימודי חוץ בטכניון בקורס שנקרא "פיתוח החשיבה המתימטית", ואחד הנושאים שנלמדו היה ריבועי קסם, בין היתר הריבוע הזה

אגב, אפשר להרחיב את השיטה וליצור גם 8X8 ועוד. יש גם שיטה כללית לריבוע ממימד אי-זוגי (3X3, 5X5, 7X7 וכו).

 

[Always Believing]

nice...

השיטה הזו פועלת עבור כל ריבוע ממימד זוגי? ומה השיטה עבור מימד אי זוגי?

 

[חיים הכט הצדיק]

טוב חבר'ה כמו שהבטחתי...../images/Emo127.gif../images/Emo13.gif

יפה..

 

[נדב 178]

../images/Emo127.gifחיים הכט הצדיק אני עדיין מחכה ל

בחידה שפתרתי

 

[נ פ ו ל י א ו ן]

Thanks...

השיטה פועלת רק ל 4X4. לאי-זוגי השיטה קצת מורכבת, אבל אני אנסה לתאר אותה. הרעיון הוא להתייחס לריבוע כאילו הוא כדורי, כלומר: השורה שמעל לשורה העליונה, היא השורה התחתונה, והעמודה שמימין לעמודה הימנית ביותר, היא העמודה השמאלית. עד עכשיו ברור? יופי

כותבים את המספרים מ 1 עד N^2 לפי הסדר. את המספר הראשון (1) כותבים בדיוק באמצע השורה העליונה. כעת מתקדמים רק באלכסון ימינה ולמעלה, תמיד למשבצת הבאה בהתאם לחוקי ה"כדור". למשל, ה 2 צריך להיות בעמודה מימין לאמצעית, אבל בשורה שמעל העליונה, ולכן הוא יורד לשורה התחתונה (בעמודה הנכונה, זו שמימין לאמצעית). מהמקום הזה ממשיכים, כל הזמן באלכסון ימינה ולמעלה. יוצא דופן אחד: אם במשבצת הבאה כבר כתוב מספר, אז לא עוברים אליה, וגם לא עוברים עמודה, אלא פשוט יורדים משבצת אחת למטה וממשיכים ממנה. כך גם בפינה הימנית העליונה. מצורפים שלבי הפתרון עבור 5X5, מקווה שזה מובן... השקעתי

 

[snogal]

../images/Emo45.gif../images/Emo45.gifכל הכבוד

 

[Abbe Faria]

שיטה אחרת לN אי זוגי

מקווה שהציור מובן... בכל מקרה, אחרי השלב הראשון, את המספרים שנמצאים "מחוץ ללוח" מזיזים פנימה בדיוק N משבצות... עובד בכל גודל של ריבוע קסם אי זוגי...

 

[נ פ ו ל י א ו ן]

../images/Emo45.gifיפה, לא הכרתי ../images/Emo51.gif

 

[חיים הכט הצדיק]

טוב הבטחות צריך לקיים../images/Emo127.gif../images/Emo50.gif

 

[Abbe Faria]

אגב... לגבי N זוגי

אז אם N מתחלק ב4, עושים את השיטה של בונפרטה, כאשר פשוט מחלקים את הלוח לחלקים של 4X4, מסמנים איקס, ומשבצים (מצורף ציור עם דוגמא ל8X8) אם N זוגי שלא מתחלק ב4, עד כמה שאני יודע זה פשוט בלתי אפשרי, אם מישהו יודע אחרת, או שיש לו הוכחה למה שאמרתי, יתקבל בברכה...

 

[נ פ ו ל י א ו ן]

../images/Emo45.gifיפה מאד, ו...

קיימת הוכחה שיש ריבוע קסם NxN לכל N > 2, אבל לא קיימת שיטה כללית אחת. יש נוסחא פשוטה ל"סכום הקסם" של הריבוע:

0.5 * N * (N^2 + 1)​

מסתבר שיש הרבה אלגוריתמים ליצירת ריבועי קסם. מדברים גם על כל מיני סוגים של ריבועי קסם (כאלה שהסכום הוא לא רק בשורות, עמודות ובשני האלכסונים הראשיים, אלא בעוד סימטריות למיניהן), וגם עבור ריבועי קסם "משוכללים" שכאלה ישנם אלגוריתמים מיוחדים.

 

[נ פ ו ל י א ו ן]

ועוד כמה דברים מעניינים לגבי 4x4

לא רק הסכום בכל שורה, עמודה ואלכסון הוא 34...

גם הסכום של שתי המשבצות האמצעיות בשורה הראשונה ובאחרונה הוא 34, וכך גם בעמודה הראשונה והאחרונה.

גם סכום ארבע המשבצות האמצעיות הוא 34.

גם סכום ארבע הפינות הוא 34.

אם הולכים בכיוון השעון, ומחברים את המשבצת הראשונה שאחרי כל פינה (כלומר: 15 + 9 + 2 + 8) אז גם מקבלים 24. כך גם לכיוון השני, נגד כיוון השעון.

אם רושמים, במקום כל מספר בריבוע הזה, את הריבוע (= החזקה השניה) שלו, מתקבל ריבוע (מצורף) שהוא לא בדיוק ריבוע קסם, אבל יש לו גם לא מעט תכונות "קסומות": סכום השורה הראשונה שווה לסכום השורה האחרונה, וגך גם לגבי השורה השניה והשלישית, וכך גם לגבי העמודות. מכאן גם שכסום החצי העליון של הריבוע שווה לשכום חציו התחתון, וכך גם לגבי חציו השמאלי והימני (וכולם שווים ביניהם). כך גם לגבי האלכסונים - סכום האיברים שעל האלכסון הראשי והמשני שווה לחצי מסכום הריבוע, ושווה גם לשכום הריבועים שלא על האלכסונים האלו.