חידת פולינום

[עריסטו]

חידת פולינום

מיצאו פולינום בעל מקדמים טבעיים שאחד משורשיו הוא

sin(10°)+sin(50°)​

 

[עריסטו]

תיקון

את הביטוי שכתבתי בהודעה הראשונה ניתן לפשט בקלות והבעיה לא קשה. קבלו במקום זה בעיה חדשה: מיצאו פולינום בעל מקדמים טבעיים שאחד משורשיו הוא

sin(10°)+sqrt(2)​

 

[עריסטו]

עוד תיקון: במקום טבעיים צ"ל שלמים

 

[Tesseract]

שאלה

כוונתך היא למצוא פולינום P(x), כך שפתרון (אחד מהם) המשוואה P(x) = 0 יהיה sin(10°)+sqrt(2)? אם כן, מה בדבר P(x) = 0?

 

[עריסטו]

לא חשבתי על זה ../images/Emo67.gif

הכוונה לפולינום שונה מהפולינום P(x) = 0.

 

[עריסטו]

מדבריך למדנו

שההגדרה המקובלת "מספר אלגברי הוא מספר שהינו שורש של פולינום בעל מקדמים שלמים" אינה מדוייקת - צריך להוסיף שהפולינום שונה מפולינום האפס. כמו כן המשפט לפיו מספר שורשי פולינום שווה למעלת הפולינום אינו נכון עבור פולינום האפס (שמעלתו מוגדרת כמינוס אינסוף).

 

[טלמון סילבר]

דרך מכנית לחלוטין, בלי לחשוב -

sin3α = 3sinα - 4sin³α 1/2 = sin30° = 3sin10° - 4sin³10° t = sin10° 8t³ - 6t + 1 = 0 :אחד משורשי הפולינום 8t³ - 6t + 1 .sin10° הוא t + sqrt(2) = x :אחד משורשי המשוואה 8(x - sqrt(2))³ - 6(x - sqrt(2)) + 1 = 0 .sin10° + sqrt(2) הוא​

אמנם בינתיים אין לנו באגף שמאל פולינום עם מקדמים שלמים, אבל אין בעיה לקבל אותו. פותחים את הסוגריים, מעבירים לאגף ימין את כל האברים עם שורש 2, מעלים את שני האגפים בריבוע, ומעבירים שוב את הכל לאגף אחד, בו יתקבל פולינום עם מקדמים שלמים, שאחד משורשיו הוא מה שחיפשנו.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif