חידת פולינום

[עריסטו]

חידת פולינום

P הוא פולינום בעל מקדמים שלמים. האם ייתכן קיומם של שלושה מספרים שלמים שונים, b, a ו- c, כך ש - P(a)=b P(b)=c P(c)=a

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif תשובה

פולינום ממעלה 0 אינו מתאים, כי אין לו שלושה ערכים שונים. נעסוק בפולינום במעלה גדולה מ-0.

P(a) = b P(b) = c P(c) = a P(b) - P(a) = c - b P(c) - P(b) = a - c P(a) - P(c) = b - a :מכאן c - b | b - a a - c | c - b b - a | a - c :מכאן |c - b| = |a - c| = |b - a| = 1​

מה שלא יתכן עבור שלושה מספרים ממשיים.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif

 

[slallum]

האם אפשר לקבל הסבר על פולינום?

שאולי אני אצליח להבין חלק מהתשובה?

 

[Fingertip]

בבקשה

פולינום, ובעברית רב-אבר הוא כינוי לביטוי מהצורה:

P(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x^3 + ... + anx^n​

למשל:

x² + 2x + 1 x + 1 1 x^5 - 3x + ½ 0 (זהו פולינום האפס)​

כעת, נשים לב לתכונה המעניינת של פולינומים:

P(x) - P = a1(x - y) + a2(x² - y²) + a3(x^3 - y^3) + ... + an(x^n - y^n)​

מכיוון שלכל k מתקיים:

x^k - y^k = (x-y)(x^(k-1) + x^(k-2)y + x^(k-3)y² + ... + xy^(k-2) + y^(k-1)​

נקבל שמתקיים:

P(x) - P = a1(x-y)(...) + a2(x-y)(...) + a3(x-y)(...) + ... + an(x-y)(...)​

במקום "..." יש לשבץ את הביטוי המסובך לפי הנוסחה. השמטתי אותו כי הוא לא חשוב. מה שחשוב זה שמופיעים שם חזקות וסכומים של x,y ולכן אם x,y מספרים שלמים, אז יהיה מספר שלם במקום "...". כעת, נוכל להוציא גורם משותף x-y ולקבל:

P(x) - P = (x-y)(...)​

כאשר המקדמים ai הם מספרים שלמים, הרי שממה שאמרנו נובע שבמקום ה-"..., בביטוי האחרון יש מספר שלם. לכן, המספר x-y מחלק את המספר (P(x) - P(y. בסימונים רושמים זאת כך:

x - y | P(x) - P​

הסימון "|" מקיים תכונות שמאוד דומות ל-≤. בפרט, אם x | y ו-y | x אז |x| = |y| (כאן "|" משמעו ערך מוחלט), וכן אם x | y ו-y | z אז x | z. כעת מה שכתוב בתשובה של טלמון אמור להיות טיפה יותר מובן... מקווה שעזרתי, אהד.

 

[slallum]

הרבה הרבה יותר מובן ../images/Emo13.gif

עדיין אני אצטרך לחשוב עוד קצת על חלק מהדברים, בייחוד כי זה חומר חדש בשבילי, אבל לפחות הבנתי את הסימנים, זה כבר התחלה

 

[טלמון סילבר]

רגע, אז כתבתי הפוך ("מתחלק ב")?