חידת עיגול מספרים

[עריסטו]

חידת עיגול מספרים

בוחרים מספר טבעי n. מעגלים אותו כלפי מעלה לכפולה של n-1. את התוצאה מעגלים כלפי מעלה לכפולה של n-2. את התוצאה מעגלים כלפי מעלה לכפולה של n-3. וכך הלאה, עד לעיגול כלפי מעלה לכפולה של 1. דוגמה: אם n=12, נעגל אותו כלפי מעלה לכפולה של 11: 12 -> 22 נעגל את 22 כלפי מעלה לכפולה של 10: 22 -> 30 ההמשך הוא: 30 -> 36 36 -> 40 40 -> 42 42 -> 42 42 -> 45 45 -> 48 48 -> 48 48 -> 48 48 -> 48 כלומר התוצאה הסופית היא 48. שאלה: כאשר n שואף לאינסוף, לאיזה מספר שואף היחס בין n^2 לתוצאה הסופית?

 

[מספר6]

הערכה גסה

נקרא ליחס המבוקש c. מכיוון שבשלב ה-i, מוסיפים לכל היותר n-i-1, התוצאה הסופית היא לכל היותר סכום המספרים מ-1 עד n-2, ולכן c<=1/2. מצד שני, המספרים ב-n/2 השלבים הראשונים יהיו: n, 2(n-1), 3(n-2), 4(n-3), וכן הלאה עד בערך (n/2)^2. אם כך, התוצאה הסופית היא לפחות n^2/4, ו- c > 1/4. שיפור לחסם העליון אפשר לקבל אם ניקח את תוצאת הביניים n^2/4 וננסה להעריך כמה יתווסף לה ע"י n/2 המספרים הנותרים - לכל היותר סכום מ-1 עד n/2 = בערך n^2/8. התוצאה הסופית היא אפוא לכל היותר 3n^2/8 c<=3/8.

 

[mor48]

התוצאה מפתיעה

pi אין לי מושג איך להוכיח זאת (אם יש לך זה דווקא מעניין).

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif נסו להוכיח

 

[Renatius Cartesius]

אולי ישנו קשר...

לנוסחת ווליס: zzz 2/1* 2/3* 4/3* 4/5* 6/5* 6/7* 8/7....=pi/2 הנוסחה מתקבלת מחישוב האינטגרל של סינוס x בין 0 לבין פאי חלקי שתיים. (רעיונות מתוך יאוש... סלחו לי...)