חידת סדרה

[עריסטו]

חידת סדרה

מגדירים סדרה של מספרים שלמים כך: a_1 הוא מספר טבעי כלשהו. אחר כך, לכל n>1 המספר a_n הוא המספר השלם הלא-שלילי הקטן ביותר כך שסכום n האיברים הראשונים מתחלק ב-n. הוכיחו: החל מנקודה מסויימת כל איברי הסדרה שווים.

 

[מספר6]

../images/Emo62.gif

נסמן ב-S_n את סכום האיברים הראשונים, ונסמן b_n = S_n / n ע"פ ההגדרה, b_n הוא מספר שלם. אם נצרף את b_n לסדרה כאיבר הבא, הסכום יתחלק ב-(n+1) ולכן a_{n+1} <= b_n ולכן גם b_{n+1} <= b_n b_n לא יכול לקטון עד אינסוף אלא רק עד 0. החל מהשלב שבו הוא מפסיק לקטון כל האיברים a_n שווים.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif