חידת משובע משוכלל

[עריסטו]

חידת משובע משוכלל

הוכיחו: במשובע משוכלל ABCDEFG מתקיים

1/AB+1/AC=1/AE​

(ראו ציור)

 

[עריסטו]

תיקון טעות

הנכון הוא

1/AB=1/AC+1/AE​

 

[טלמון סילבר]

צריך בלי טריגונומטריה?

עם טריגונומטריה זה לא מסובך. למשל ככה. רק נסמן: a - אורך צלע המשובע b - אורך האלכסון הקטן יותר c - אורך האלכסון הגדול יותר

s(k) = sin(πk/7) c(k) = cos(πk/7) k = 1, 2, 3, . . . :צריך להוכיח ש 1/b + 1/c = 1/a​

ממשפט הסינוסים עבור משולש שנוצר "באמצע" המשובע ע"י צלע ושני אלכסונים שונים, ובחישוב פשוט של גודלי הזוויות:

a : b : c = s(1) : s(2) : s(3) :השוויון שצריך להוכיח שקול לשוויונים הבאים a/b + a/c = 1 s(1)/s(2) + s(1)/s(3) = 1 s(1)s(3) + s(1)s(2) = s(2)s(3) c(2) - c(4) + c(1) - c(3) = c(1) - c(5) c(2) + c(3) + c(1) - c(3) = c(1) + c(2)​

אשר כמובן מתקיים.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif התכוונתי בלי טריגונומטריה

אבל גם הפתרון שלך נכון.

 

[טלמון סילבר]

פתרון בלי טריגונומטריה

מצורף שרטוט. אשתמש באותם הסימונים: a - אורך צלע המשובע (למשל AB בשרטוט) b - אורך אלכסון קטן יותר (למשל BG בשרטוט) c - אורך אלכסון גדול יותר (למשל BG ו-BF בשרטוט)

:צריך להוכיח ש 1/b + 1/c = 1/a :או ש ab + ac = bc​

בטרפז ABCG האלכסונים נחתכים בנקודה Q באותו היחס כמו הבסיסים:

AQ : QC = AB : CG = a : b​

זה גם היחס בין גבהי המשולשים BGA ו-BGC, כאשר בשניהם הצלע BG משמשת כבסיס. יהי גובה המשולש BGA מהקודקוד A אל הצלע BG שווה at, וגובה המשולש BGC מהקודקוד C אל הצלע BG שווה ct. זה גם הגובה של הטרפז BGFC, שבסיסיו שווים b ו-c. נבטא את שטח המחומש AGFCB בשתי דרכים שונות: 1. שטח טרפז BGFC, ועוד שטח משולש AGB. 2. שטח המשולש CAF (כאשר הבסיס הוא CF, והגובה at+ct), ושני המשולשים CBA ו-AGF השווים ל-BAG:

(b + c)ct/2 + bat/2 = c(at + ct)/2 + bat/2 + bat/2 (b + c)c = c(a + c) + ba bc + c² = ac + c² + ab bc = ac + ab​

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif

 

[טלמון סילבר]

השרטוט + תיקון "טעויות דפוס"

. . . c - אורך אלכסון גדול יותר (למשל CG ו-CF בשרטוט) . . . בטרפז ABCG האלכסונים נחתכים בנקודה Q באותו היחס כמו הבסיסים: AQ : QC = AB : CG = a : c