חידת אינטגרל

[עריסטו]

חידת אינטגרל

נניח שאני רוצה לכתוב תוכנה שמחשבת אינטגרלים מסויימים של פולינומים ממעלה שלישית. המשתמש בתוכנה בוחר פולינום P(x) zzz ממעלה שלישית ושני מספרים a ו - b, ונותן לתוכנה רק את a ו - b. התוכנה מבקשת את ערכי הפולינום במספר נקודות, ומוצאת לפי זה את ערך האינטגרל המסויים של P(x) zzz בין a ל - b. כמה ערכים התוכנה צריכה לבקש?

 

[טלמון סילבר]

במקרה של a=b

לא זקוקים אפילו לערך אחד

במקרה הכללי אני חושב שמספיקים 3 ערכים, השאלה היא אם יש מצב שגם 2 יספיקו.

 

[גיל14]

הכיצד שלושה ערכים?

 

[טלמון סילבר]

מי אמר שלושה? ../images/Emo12.gif

 

[גיל14]

זה תלוי,

האם אפשר לבקש ערכים ספציפיים? למשל, אפשר לבקש נקודות קיצון, או את הערך בו הנגזרת השלישית מתאפסת?

 

[גיל14]

טעות

הנגזרת השניה, כמובן.

 

[עריסטו]

לא. צריך לתת למשתמש

ערכי x ספציפיים - מספרים - ולבקש את ערכי הפונקציה בנקודות אלה.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif תשובה

2 ערכים. נניח שהפולינום הוא:

P(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D :התכנית צריכה למצוא את המספר (b - a)[A(a³ + a²b + ab² + b³)/4 + B(a² + ab + b²)/3 + C(a + b)/2 + D]​

כאשר a ו-b נתונים, ו-A,B,C,D אינם נתונים. אסמן לשם הקיצור:

Q3 = (a³ + a²b + ab² + b³)/4 Q2 = (a² + ab + b²)/3 Q1 = (a + b)/2 .מספרים אלה נתונים :צריך למצוא את המספר A Q3 + B Q2 + C Q1 + D​

האם קיימים שני מספרים שונים x1 ו-x2 ושני מספרים λ ו-μ, שעבור כל A,B,C,D מתקיים:

A Q3 + B Q2 + C Q1 + D = λ(A x1³ + B x1² + C x1 + D) + μ(A x2³ + B x2² + C x2 + D) :מתקבלת מערכת של 4 משוואות עם 4 נעלמים λ x1³ + μ x2³ = Q3 λ x1² + μ x2² = Q2 λ x1 + μ x2 = Q1 λ + μ = 1​

מערכת זו אין בעייה לפתור במחשב. אם אינני טועה, מתקבלת "סה"כ" משוואה ממעלה שלישית עבור אחד הנעלמים. אחרי שהתכנית מוצאת את x1,x2,λ,μ היא מבקשת את הערכים של (P(x1 ושל (P(x2, ומחזירה את התשובה: (λ P(x1) + μ P(x2.

 

[עריסטו]

ובכן, מה יוצאת התשובה הסופית?

באילו נקודות התוכנית מבקשת את הערכים, ואיך היא מוצאת לפיהם את האינטגרל?

 

[טלמון סילבר]

בוא נעשה ככה:

אני כותב את התכנית, אתה נותן לה את a ו-b, והיא נותנת לך את x1 ו-x2, ואתה מחזיר לה את (P(x1 ו-(P(x2, והיא מחזירה לך את ערך האינטגרל. אתה חושב שיש לי כוח לפתור ידנית משוואות ארוכות?

 

[טלמון סילבר]

טוב, עבדתי קשה ../images/Emo178.gif

התכנית מבקשת את ערכי הפולים עבור:

[a(3 + sqrt(3)) + b(3 - sqrt(3))] / 6 [a(3 - sqrt(3)) + b(3 + sqrt(3))] / 6​

האינטגרל שווה לממוצע של ערכי הפולינום בשתי נקודות אלה, כפול (b-a).

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif