חידה שלי...

[Renatius Cartesius]

חידה שלי...

מתי n! zzz הוא ריבוע שלם. רק? הוכיחו זאת!

 

[the Sman]

../images/Emo62.gif

המממ.. אף פעם? אם n זוגי אז: קיים p מספר ראשוני כך ש- n/2<p<n (אאל"ט קיים משפט כזה). לכן בין הגורמים הראשוניים של n! zzz יש את p רק פעם אחת. אבל, לכל מספר ריבועי גורמיו הראשוניים מופיעים בזוגות, לכן n! zz לעולם לא יהיה מספר ריבועי. עבור n אי זוגי לוקחים ההוכחה דומה

לילה טוב

 

[Renatius Cartesius]

../images/Emo127.gif ../images/Emo128.gif ../images/Emo128.gif

ההוכחה לחלק השני ושכחת עוד משהו... לילה טוב ושבוע מקסים!

 

[יאיר של תמר]

ארוך ומסורבל

מקווה שההוכחה לא מסורבלת מדי. רק 1! .. על מנת שמספר הוא ריבועי אם ורק אם קבוצת הגורמים הראשוניים שלו היא כזאת, כך שכל גורם מופיע בקבוצה - מספר זוגי של פעמים. למעט 1 - שהוא מספר מיוחד

לדוגמא, 36 - 2,2,3,3 ובכן, יהיה P קבוצת המספרים הראשוניים, כך ש P1 = 2, P2 = 3, וכו'.. עבור !N, קיימת הקבוצה P1..Pk, כך ש-Pk הוא הראשוני הגדול ביותר הקטו מ-N. המספר הריבועי הקטן ביותר שאלה הם גורמיו הוא, P1*P1*P2*P2*..*Pk*Pk. (ראה לעיל למה..) יהיו C1,C2,Cn-k קבוצת המספרים שאינם ראשוניים עד N כולל. ברור ש N! = P1*P2*P3...PK * C1*C2*C3*...Cn-k ומכיוון שנדרש מספר זוגי לכל גורם ראשוני על מנת ש !N יהיה ריבועי, בפרט ישנו איבר פריק (Ci) במשוואה האחרונה שכולל את Pk בפירוק שלו. כלומר Ci הוא לפחות Pk*2. אבל זאת סתירה שכן אז Ci גדול מהמספר הראשוני הבא אחרי Pk..זאת מכיוון ש... בהינתן U כלשהו ישנו ראשוני בין U ל- U*2 (במקרה שלנו U הוא Pk). בטוח שיש משהו יותר פשוט...!

 

[עריסטו]

פתרון

רק עבור n=0 ו - n=1. זאת משום שעבור ערכי n הגדולים יותר המספר הראשוני הגדול ביותר בין 1 ל - n הינו גדול מ - n/2 (לפי Bertrand's postulate) ולכן הוא מופיע בפירוק של !n לגורמים ראשוניים רק פעם אחת.

 

[עריסטו]

Bertrand's postulate

http://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html

 

[Renatius Cartesius]

../images/Emo127.gif ../images/Emo127.gif ../images/Emo127.gif

את תשובתך יאיר של תמר אקרא אחרי חזרתי מצה"ל ולא נראה לי שאצליח לקבוע אם זה נכון או לא..