חידה קלילה

[עריסטו]

חידה קלילה

לפתור בלי מחשב: הדפסתי את המספרים 2006^2 ו - 2006^5. כמה ספרות הדפסתי בסך הכל?

 

[בסג]

../images/Emo62.gif

2007 למה? כי המכפלה שלהם היא 10^2006, שהוא בן 2007 ספרות (1, ולאחריו 2006 אפסים). את שני המספרים (נקרא להם X וY) ניתן להציג ככה:

X = 10^M * A Y = 10^N * B​

כאשר M וN הם טבעיים, וA וB הם ממשיים הקטנים מ10. המכפלה היא חזקה שלמה של עשר, וממילא גם A*B צריך להיות שווה לחזקה של עשר (אחרי בחינת אפשרויות המקסימום והמינימום (בהנחה שלא שניהם שווים 1, כי זה לא יתכן (מובן למה)) רואים שA*B=10). מכאן צריך רק קצת מחשבה (שאין לי כח לפרש בכתב).

 

[טלמון סילבר]

וגם אפשר להוכיח בעזרת לוגריתמים

מספר הספרות של 2 בחזקת 2006 שווה: 2006, כפול לוגריתם עשרוני של 2, מעוגל למעלה. מספר הספרות של 5 בחזקת 2006 שווה: 2006, כפול לוגריתם עשרוני של 5, מעוגל למעלה. סכום שני המספרים כשהם בלתי מעוגלים, שווה 2006. סכום שני המספרים המעוגלים למעלה, גדול מ-2006, אך קטן מ-2006+2, ולכן שווה 2007.

 

[בסג]

../images/Emo13.gif

ידעתי שלך או לעריסטו תהיה דרך אלגנטית יותר...

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif לכולם

 

[srulikbd]

אפשר גם לשים לב

שיש מחזוריות בהוספת ספרה של שני החזקות...

 

[בסג]

אבל זה לא נכון...

2 בחזקת 10 = 1024. כל הכפלה נוספת ב 2 בחזקת 10 - תוסיף שלוש ספרות. (ולכן נוח מאד להשוות בין KILO=1000, וKILO=1024) אבל, זה לא תמיד... מתישהו יגיע השלב שבו ההכפלה תוסיף ארבע ספרות. וכן לגבי החזקות של 5.

 

[טלמון סילבר]

אבל התשובה הסופית כן נכונה -

ההוכחה שרשמתי נכונה לכל חזקה. מספר הספרות העשרוניות של 2 בחזקת n פלוס מספר הספרות העשרוניות של 5 בחזקת n שווה n+1 עבור כל n שלם חיובי.

 

[בסג]

אבל אבל אבל... לא דיברתי אליך...../images/Emo12.gif

 

[טלמון סילבר]

סליחה, לא ידעתי.