חידה קלה מאוד.

[Gaius Octavius]

חידה קלה מאוד.

פשוט יבש פה קצת. הוכיחו, שלא יתכן משולש ישר-זווית שאורך צלעותיו [בסנטימטרים] הוא טבעי כאשר אורך אחד מהניצבים הינו סנטימטר אחד.

 

[Tesseract]

../images/Emo62.gif

אם אורך אחד הניצבים הוא ס"מ אחד, אז צריך להתקיים: x²+1=y² כלומר, צריך למצוא שני מספרים עוקבים, ששניהם ריבועים של מספרים טבעיים. שני מספרים כאלה לא קיימים. נראה זאת: ראשית, ככל שההפרש בין שני מספרים טבעיים x>=y קטן יותר, כך הפרש ריבועיהם קטן יותר. ההפרש הנ"ל הקטן ביותר הוא 0, וזה כאשר x=y. במקרה כזה, אנו מקבלים x²=y², כלומר המספרים (הריבועים) אינם עוקבים. ההפרש הנ"ל הבא אחריו הוא 1, כלומר x-y=1. נוכיח שבמקרה זה, הפרש הריבועים הקטן ביותר הוא כאשר y הוא המספר הטבעי הקטן ביותר - 1 (ומכאן, x=2, ו-x²-y²=3): ניקח מספר k>1. ההפרש בין (k+1)² ל-k² הוא:

(k+1)²-k² = k²+2k+1-k² = 2k+1 > 3​

שוב פעם, קיבלנו שהפרש הריבועים אינו ההפרש המבוקש (1). כאמור, עבור מספרים טבעיים אחרים, שהפרשם גדול מ-1, נקבל הפרש ריבועים גדול יותר, כך שאין שני מספרים העונים על התנאי.

 

[Gaius Octavius]

../images/Emo127.gif../images/Emo128.gif

יש הוכחה לוגית הרבה יותר פשוטה מזו.

 

[עריסטו]

../images/Emo207.gif חידות שלשות פיתגוריות

שלשה פיתגורית היא שלשה של מספרים טבעיים a,b,c המקיימים

a^2+b^2=c^2​

א. הוכיחו: בכל שלשה פיתגורית המכפלה abc מתחלקת ב - 60. ב. הוכיחו: בכל שלשה פיתגורית לפחות אחד המספרים a,b,a-b,a+b מתחלק ב - 7.

 

[Pharell]

מאתגר אותך

תוכיח שקיים מספר סופי של שלשות פיתוגוריות

 

[טלמון סילבר]

אחד באפריל? ../images/Emo8.gif

 

[עריסטו]

התכוונת "אינסופי"?

 

[טלמון סילבר]

...של שלשות זרות?

אחרת זה "לא חוכמה": 3n,4n,5n עבור כל n טבעי.

 

[snogal]

נו

לפחות אחד מהגורמים זוגי ולכן מתחלק ב 2 ולכן מתחלק גם ב 4. שאריות החלוקה האפשריות של ריבוע שלם ב 3 הן 1 או 0 לכן לפחות אחד מהם מתחלק ב 3 , שאריות החלוקה של ריבוע שלם ב 5 הן 0,1 או 4 ולכן לפחות אחד מהריבועים מתחלק ב 5. נניח כי גם a וגם b אינם מתחלקים ב 7 שאריות החלוקה של ריבוע המספרים שאינם מתחלקים ב 7 נותנים שאריות אפשריות של 1,2,4. רק צירוף של שאריות חלוקה (של הריבועים) של הזוגות 1,1 או 2,2 או 4,4 ייתכנו. עבור שארית של 1 האפשריות הן

7*m + 1 or 7*m +6​

בכל מקרה עבוד הפרש או סכום של שני המספרים הללו נקבל מספר המתחלק ב 7. כנ"ל עבור זוגות מהצורה 2,2 או 4,4

 

[טלמון סילבר]

1. מדוע מתחלק ב-4?

 

[srulikbd]

../images/Emo62.gif

כידוע השורש הריבועי של כל הטבעיים פרט לריבועיים הוא אי רציונאלי. לא קיימים שני ריבועיים שהפרשם הוא 1, לכן אחד מהמספרים יהיה אי רציונאלי, או שניהם. כך גם מתאים לשאלה המספרים מהצורה z 2x+1 z לכלX טבעי (ההפרש בין הריבועיים הוא סידרה חשבונית).

 

[Gaius Octavius]

../images/Emo127.gif

אכן, ההסבר הפשוט המילולי הוא שההפרש בין המספרים בסדרת הריבועיים עולה ככל שהסדרה עולה, ולכן ההפרש הקטן ביותר ימצא בהתחלה, אבל ההפרש הקטן ביותר הוא 3 [אם כי יש את ההפרש 1 בין אפס ואחד, אבל מאחר ואורך צלע לא יכול להיות אפס אז זה מתבטל].

 

[Tesseract]

נו..

וזה בדיוק מה שרשמתי. איזה הסבר יותר פשוט מזה יש?

 

[Gaius Octavius]

נו, כן, פישטתי את מה שרשמת.

פחות או יותר.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo35.gif ../images/Emo207.gif עוד על שלשות פיתגוראיות

תהי a,b,c שלשה פיתגוראית זרה: a² + b² = c² a,b,c - מספרים שלמים חיוביים בלי מחלקים משותפים. הוכיחו שמתקיים אחת מן השתיים: או: b+c ריבוע של מספר שלם, a+c)/2) ריבוע של מספר שלם, או: a+c ריבוע של מספר שלם, b+c)/2) ריבוע של מספר שלם.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo35.gif ועוד אחת דומה

תהי a,b,c שלשה פיתגוראית זרה: a² + b² = c² a,b,c - מספרים שלמים חיוביים בלי מחלקים משותפים. הוכיחו שמתקיים אחת מן השתיים: או: c-b ריבוע של מספר שלם, c-a)/2) ריבוע של מספר שלם, או: c-a ריבוע של מספר שלם, c-b)/2) ריבוע של מספר שלם.

 

[עריסטו]

פתרון

כאן...

http://www.mathpages.com/home/kmath009.htm

 

[טלמון סילבר]

לכתוב "../images/Emo127.gif"? ../images/Emo8.gif