חידה קומפלקסית...

[Renatius Cartesius]

חידה קומפלקסית...

למה שווה i ^ i ? i = שורש ממינוס אחד.

 

[יאיר של תמר]

הברקה (! או ?)

שווה ל e^(-pi/2) zzz התחלתי עם נוסחת אוילר... e^(i*pi) + 1 = 0 אם נעביר אגפים ... e^(i*pi) = i^2 נעלה בחזקת חצי.. e^(i*pi/2) = i נעלה בחזקת i ונקבל e^(-pi/2) zzz

 

[Renatius Cartesius]

../images/Emo127.gif כל הכבוד!!!

 

[יאיר של תמר]

יותר מזל...

משכל... זאת הנוסחה היחידה שאני מכיר אשר i הוא חלק ממאריך החזקה... חייב להודות שנוסחת אוילר ממש לא אומרת לי כלום - לא נראה לי שאבין לעולם איך מעלים משהו בחזקת i...

 

[גיל14]

לא ככה...

exp(ix) = cos(x) + i sin(x) a^i = e^i ln(a) = cis(x)^ln(a)​

 

[טלמון סילבר]

כפי שציינתי,

כל הפעולות הללו אינן חוקיות. בדרך זו אפשר לקבל גם תוצאות שונות לחלוטין. וזה לא נכון ש-i זה שורש של מינוס 1. ההגדרה של i היא מספר מלאכותי, שניתן לבצע אתו פעולות חשבון (כפל, חיבור וכו'), ושהריבוע שלו שווה מינוס 1. אבל גם הריבוע של מינוס i שווה מינוס 1. כשאומרים "שורש של", יכולות להיות לכך שתי משמעויות: "השורש האריתמטי", שהוא מספר חיובי או 0. למשל, שורש של 4 זה 2, ושורש של 2 זה... "שורש של 2". במובן זה למינוס 1 פשוט אין שורש, כי אין מספר חיובי שהריבוע שלו שווה מינוס 1. המשמעות השנייה היא: מכלול השורשים האלגבראיים. למשל, השורשים הריבועיים של 4 הם 2 ומינוס 2, והשורשים הריבועיים של מינוס 1 הם i ומינוס i. זה לא מספר, אלא קבוצה של מספרים. כך, קבוצת השורשים הרביעיים של 1 מכילה ארבעה מספרים: 1, מינוס 1, i, מינוס i. וקבוצת השורשים השלישיים של 1 מכילה 3 מספרים:

cos(2πk/3) + i sin(2πk/3)​

 

[טלמון סילבר]

פעולה זו אינה מוגדרת.

מוגדרת רק הפונקציה (exp(z, אשר עבור מספרים ממשיים זו e^x. מוגדרת פונקציה רב-מפלסית (Ln(z, היות ו- (exp(z+2πki) = exp(z עבור כל k שלם.

 

[Renatius Cartesius]

טוב לדעת...

תודה.

 

[יאיר של תמר]

ואני כבר חשבתי לפצוח....

בקריירה מתמטית...

 

[גיל14]

זה בסדר

עד כדי מחזור, אתה בסדר. אפילו מייפל מאשר.

 

[מתן4ל]

אז אפשר פשוט להגדיר ש

exp(ln(a)*x)=a^x ואז יש לך הגדרה למספר מורכב בחזקת מספר מורכב...

 

[ןן גיל ןן]

כן- רק ש..

ln של מספר מרוכב אינו מוגדר היטב אלא עד כדי תוספת כפולה שלמה של 2pi i. לא ניתן להגדיר את ה- ln בצורה רציפה על פני כל המישור המרוכב (פרט ל-0). לכל הפחות נקבל אי-רציפות על פני קרן אינסופית היוצאת מהראשית.

 

[מתן4ל]

נו, התכוונתי להגדרה

נו, התכוונתי להגדרה עד כדי תוספת כפולה שלמה של 2pi. (כמו שקורה למשל בהגדרה של הפונקציה ההפוכה ל"בריבוע" והפונקציה ההפוכה לסינוס....