חידה פרי עטי

[clocker]

חידה פרי עטי

מצא את כל הkים, שהצבתן בנוסחא 4k+1 נותנת מספר ריבועי.

 

[עריסטו]

תשובה

ברור ש - 4k+1 יכול להיות רק ריבוע של מספר אי-זוגי, לכן:

4k+1=(2n-1)^2=4n^2-4n+1 4k=4n^2-4n k=n^2-n=n(n-1)​

פתרון: הדרישה מתקיימת אם ורק אם k הוא מכפלה של שני מספרים שלמים עוקבים.

 

[clocker]

../images/Emo127.gif

 

[Renatius Cartesius]

חידה קלה....

zzz k=n(n-1) zzz לכל n שלם וחיובי. הסבר: הסדרה נראית כך: 0,2,6,12,20... מטור טלסקופי פשוט מגיעים לאיבר הכללי של הסדרה.

 

[clocker]

../images/Emo127.gif

זו הדרך שאני חשבתי עליה, למרות שכרגיל - הדרך של עריסטו פשוטה יותר

 

[srulikbd]

מה זאת אומרת מטור טלסקופי?

 

[טלמון סילבר]

לפי איזה שעון אתם גולשים?

 

[Renatius Cartesius]

ולאיזה ערכים...

של k שנציב בנוסחא 4k+3 נקבל ריבוע שלם?

 

[עריסטו]

תשובה

אין k כזה

 

[Renatius Cartesius]

../images/Emo127.gif איך אתה...

מוכיח את זה...?

 

[srulikbd]

ככה

z 4k+3=x^2 2(2k+1)=(x+1)(x-1) z כלומר צד ימין מתחלק ב4 אבל צד שמאל רק ב2

 

[Renatius Cartesius]

עוד משהו קשור...

האם p!+1 ריבוע שלם? p ראשוני. p עצרת הוא כפל הראשונים את אותו p מסויים. (אני מקווה שהסימון הזה מותר).

 

[Renatius Cartesius]

זה... עד.

עד אותו p ראשוני! סליחה.

 

[srulikbd]

כמו הקודמים

לא zz p!+1=(2x+1)^2 zz zz p!=4x(x+1) zz סתירה

 

[Renatius Cartesius]

../images/Emo127.gif

עוד דרך היא להשתמש ב- 4k+3 . אם תשים לב כל p!+1 הוא מצורה זו.

 

[עריסטו]

לא נכון

 

[Renatius Cartesius]

למה לא?

p!+1=4k+3 p!=2(k+1) zzz קיימים אינסוף ערכים של k בכדי שהשווין יתקיים... אני בטח טועה כאן ובגדול...

 

[srulikbd]

דומה לשל עריסטו

z 4k+1=x^2 4k=(x+1)(x-1) z אז שניהם זוגיים, אם נחלק ב2 נקבל שני מספרים עוקבים.

 

[srulikbd]

תכלס אפשר לדעת עבור כל ax+b לא?